Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 60, 45, 31, 44, 32, 22.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 40. Jaka część P wartości leży powyżej 580?

μ = 500σ = 40x = 580

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,3, 0,15

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €1. Wygrywasz €2 z prawdopodobieństwem 0,3 i €10 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €1€2: p = 0,3€10: p = 0,02

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,2206. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,2206

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 40% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 25 elementów ma średnią 74 i odchylenie standardowe s = 1,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 25x̄ = 74s = 1,590%t(24) = 1,711

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 13. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 13E = 295%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 104,5 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 104,5s = 15n = 16

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 36; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 15. W rzeczywistości średnia wynosi 87. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 80μ = 87σ = 15n = 36α = 0,05

β = %

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,45

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 234/6 = 39

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 21² + 6² + (−8)² + 5² + (−7)² + (−17)² = 904

Odchylenie standardowe

s = √(904/5) = 13,45

Odpowiedź

s = 13,45

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,014

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,15 = 1,35

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,15 = 2,85

Wariancja

Var(X) = 2,85 − 1,35² = 1,028

σ = √1,028 = 1,014

Odpowiedź

σ = 1,014

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −0,2 €

Wyniki netto

G: 1 (p = 0,3), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,68)

Wartość oczekiwana

E(G) = 1·0,3 + 9·0,02 − 1·0,68 = −0,2 €

Odpowiedź

E(G) = −0,2 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 0,77

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,2206 = 0,7794

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,7794 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 0,77

Odpowiedź

z = 0,77

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 251,3 g

Pole po lewej

Φ(z) = 0,6

z z tablicy

z ≈ 0,25

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g

Odpowiedź

x = 251,3 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 74,51

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Margines błędu

E = 1,711·1,5/√25 = 0,5133

Przedział

74 ± 0,5133 → [73,49, 74,51]

Odpowiedź

górna granica = 74,51

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 163

Wyznacz n

n = (1,96·13/2)² = 162,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 163

Odpowiedź

n = 163

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Statystyka testowa

t = (104,5 − 100)/3,75 = 1,2

Odpowiedź

t = 1,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 12,4 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 80 + 1,645·2,5 = 84,11

z przy prawdziwej średniej

z = (84,11 − 87)/2,5 = −1,155

Błąd II rodzaju

moc = P(Z > −1,155) = 87,6%

β = 100% − 87,6% = 12,4%

Odpowiedź

β = 12,4%

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9544

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 116/5 = 23,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 98,8

Współczynnik korelacji

r = −30/√(10·98,8) = −0,9544

Odpowiedź

r = −0,9544

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 39,3

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 231/5 = 46,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

Prosta regresji

b = 46/10 = 4,6

a = 46,2 − 4,6·3 = 32,4

ŷ = 32,4 + 4,6·x

Prognoza

ŷ = 32,4 + 4,6·1,5 = 39,3

Odpowiedź

ŷ = 39,3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1