Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 23, 56, 39, 54, 13, 10, 17.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 50. Jaka część P wartości leży powyżej 475?

μ = 500σ = 50x = 475

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 11 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 11k = 3

N =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 11 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?

n = 11p = 0,25k = 3

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 45 a 80,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 45x₂ = 80,5

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 15% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 65 pktσ = 10 pkt15%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

U 8 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 5 i odchylenie standardowe 5,5. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.

n = 8d̄ = 5s_d = 5,599%t(7) = 3,499

E = mmHg

8.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,1 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,01?

p ≈ 0,1E = 0,0199%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 501,2 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,2s = 10n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 84 z 120 pacjentów leczonych metodą A i 126 z 150 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 84n₁ = 120x₂ = 126n₂ = 150

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 5.

n = 6x = 5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 19,32

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 212/7 = 30,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−7,286)² + 25,71² + 8,714² + 23,71² + (−17,29)² + (−20,29)² + (−13,29)² = 2239

Odchylenie standardowe

s = √(2239/6) = 19,32

Odpowiedź

s = 19,32

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,6915

Standaryzuj

z = −0,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Odpowiedź

P = 0,6915

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 165

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

Odpowiedź

N = 165

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2581

Wzór dwumianowy

P(X = 3) = 165·0,25³·0,75⁸ = 165·0,01563·0,1001 = 0,2581

Odpowiedź

P = 0,2581

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9167

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (45 − 65)/10 = −2

z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55

Pole pomiędzy

P = Φ(1,55) − Φ(−2) = 0,9394 − 0,02275 = 0,9167

Odpowiedź

P = 0,9167

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 54,6 pkt

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,15

z z tablicy

z ≈ −1,04

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 pkt

Odpowiedź

x = 54,6 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 6,804 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 7, t = 3,499

Margines błędu

E = 3,499·5,5/√8 = 6,804

Odpowiedź

E = 6,804 mmHg

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 5973

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 2,576²·0,1·0,9/0,01² = 5972

Zaokrąglij w górę

n = 5973

Odpowiedź

n = 5973

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,72

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Statystyka testowa

t = (501,2 − 500)/1,667 = 0,72

Odpowiedź

t = 0,72

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −2,75

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 84/120 = 0,7

p̂₂ = 126/150 = 0,84

p̂ = 210/270 = 0,7778

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,7778·0,2222·(1/120 + 1/150)) = 0,05092

Statystyka testowa

z = (0,7 − 0,84)/0,05092 = −2,75

Odpowiedź

z = −2,75

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9727

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 277/5 = 55,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 395,2

Współczynnik determinacji

r² = 124²/(40·395,2) = 0,9727

Odpowiedź

r² = 0,9727

Około 97,27% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 83,37

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 583/6 = 97,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 483

Prosta regresji

b = 483/70 = 6,9

a = 97,17 − 6,9·7 = 48,87

ŷ = 48,87 + 6,9·x

Prognoza

ŷ = 48,87 + 6,9·5 = 83,37

Odpowiedź

ŷ = 83,37

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1