Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 27, 20, 49, 47, 52.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 112,5.

μ = 100σ = 10x = 112,5

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 7p = 0,5

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 29,3 a 38,3 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x₁ = 29,3x₂ = 38,3

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 80% wszystkich wartości (80. percentyl).

μ = 65σ = 10P = 80%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 16 elementów ma średnią 19,5 i odchylenie standardowe s = 4,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 16x̄ = 19,5s = 4,590%t(15) = 1,753

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 30 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 11,6 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 29 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 16,047, a 2,5 % powyżej 45,722.

n = 30s = 11,6 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 81 studentów ma średni wynik 74 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 74s = 5n = 81

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 20. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 20E = 0,590%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 22?

n = 6ŷ = 22

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,47

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 195/5 = 39

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−12)² + (−19)² + 10² + 8² + 13² = 838

Odchylenie standardowe

s = √(838/4) = 14,47

Odpowiedź

s = 14,47

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,25

Standaryzuj

z = (112,5 − 100)/10 = 1,25

Odpowiedź

z = 1,25

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,062

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,15 = 1,15

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,15 = 2,45

Wariancja

Var(X) = 2,45 − 1,15² = 1,128

σ = √1,128 = 1,062

Odpowiedź

σ = 1,062

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,0625

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,5⁷ = 0,007813

P(X = 1) = 7·0,5·0,5⁶ = 0,05469

Dodaj

P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625

Odpowiedź

P = 0,0625

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5268

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (29,3 − 32)/6 = −0,45

z₂ = (38,3 − 32)/6 = 1,05

Pole pomiędzy

P = Φ(1,05) − Φ(−0,45) = 0,8531 − 0,3264 = 0,5268

Odpowiedź

P = 0,5268

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 73,42 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Powrót do x

x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 pkt

Odpowiedź

x = 73,42 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 17,53

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Margines błędu

E = 1,753·4,5/√16 = 1,972

Przedział

19,5 ± 1,972 → [17,53, 21,47]

Odpowiedź

dolna granica = 17,53

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 15,59 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 29·11,6² = 3902

Granice dla σ²

3902/45,722 = 85,35

3902/16,047 = 243,2

Granica dla σ

σ = √243,2 = 15,59 µm

Odpowiedź

σ = 15,59 µm

Przedział 95 % dla σ: [9,238, 15,59] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Statystyka testowa

t = (74 − 75)/0,5556 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 4330

Wyznacz n

n = (1,645·20/0,5)² = 4330

Zaokrąglij w górę

n = 4330

Odpowiedź

n = 4330

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9733

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 345/5 = 69

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 446

Współczynnik korelacji

r = 130/√(40·446) = 0,9733

Odpowiedź

r = 0,9733

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 1,598

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 102/6 = 17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

Prosta regresji

b = −46/17,5 = −2,629

a = 17 − (−2,629)·3,5 = 26,2

ŷ = 26,2 − 2,629·x

Wyznacz x

x = (22 − 26,2)/(−2,629) = 1,598

Odpowiedź

x = 1,598

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1