Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 25, 36, 15, 46, 52, 47, 40.
n = 7
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 72,5?
μ = 60σ = 10x = 72,5
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 13 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 13k = 2
N =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 11 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 11p = 0,5
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,7499. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,7499
z =
6.Rozkład normalnyTrudny
Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 100 telefonów, średnia 58 h, znane odchylenie standardowe 5 h. Model 2: 30 telefonów, średnia 55 h, znane odchylenie standardowe 7 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 100x̄₁ = 58 hσ₁ = 5 hn₂ = 30x̄₂ = 55 hσ₂ = 7 h95%
E = h
8.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 19 poletek, średni plon 82,5 kg, odchylenie standardowe 9,5 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 75,5 kg, odchylenie standardowe 4,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 19x̄₁ = 82,5s₁ = 9,5n₂ = 7x̄₂ = 75,5s₂ = 4,599%t(24) = 2,797
górna granica = kg
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 500; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 5. Losowa próba 100 obserwacji ma średnią 500,49. Przetestuj H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ ≠ 500. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 500σ = 5n = 100x̄ = 500,49H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 70 z 200 pacjentów leczonych metodą A i 35 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 70n₁ = 200x₂ = 35n₂ = 120
z =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4.
n = 5x = 4
ŷ =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 13,19
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 261/7 = 37,29
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−12,29)² + (−1,286)² + (−22,29)² + 8,714² + 14,71² + 9,714² + 2,714² = 1043
Odchylenie standardowe
s = √(1043/6) = 13,19
Odpowiedź
s = 13,19
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,1056
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,25
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Odpowiedź
P = 0,1056
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 78
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78
Odpowiedź
N = 78
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,005859
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,511 = 0,0004883
P(X = 1) = 11·0,5·0,510 = 0,005371
Dodaj
P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859
Odpowiedź
P = 0,005859
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,15
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,7499)/2 = 0,8749
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,8749 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,15
Odpowiedź
z = 1,15
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7389
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standaryzuj
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Odpowiedź
P = 0,7389
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 2,69 h
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 58 − 55 = 3
Błąd standardowy
SE = √(5²/100 + 7²/30) = 1,372
Margines błędu
E = 1,96·1,372 = 2,69
Odpowiedź
E = 2,69 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 17,55 kg
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (18·9,5² + 6·4,5²)/24 = 72,75
sp = 8,529
Margines błędu
E = 2,797·8,529·√(1/19 + 1/7) = 10,55
Przedział
7 ± 10,55 → [−3,548, 17,55]
Odpowiedź
górna granica = 17,55 kg
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,3271
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 5/√100 = 0,5
z = (500,49 − 500)/0,5 = 0,98
Pole ogona
Φ(0,98) = 0,8365
1 − Φ(0,98) = 0,1635
Wartość p
p = 2·0,1635 = 0,3271
Odpowiedź
p = 0,3271
p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,076
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 70/200 = 0,35
p̂₂ = 35/120 = 0,2917
p̂ = 105/320 = 0,3281
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,3281·0,6719·(1/200 + 1/120)) = 0,05422
Statystyka testowa
z = (0,35 − 0,2917)/0,05422 = 1,076
Odpowiedź
z = 1,076
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9189
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 136/6 = 22,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 49,33
Współczynnik korelacji
r = −27/√(17,5·49,33) = −0,9189
Odpowiedź
r = −0,9189
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 59,75
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 349/5 = 69,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134
Prosta regresji
b = 134/40 = 3,35
a = 69,8 − 3,35·7 = 46,35
ŷ = 46,35 + 3,35·x
Prognoza
ŷ = 46,35 + 3,35·4 = 59,75
Odpowiedź
ŷ = 59,75
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1