Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 29, 14, 47, 21, 46, 59.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 50. Jaka część P wartości leży powyżej 475?

μ = 500σ = 50x = 475

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,3, 0,15, 0,25, 0,25

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 12 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 12p = 0,25

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 740,2 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 740,2 g

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 97,5% wszystkich wartości (97,5. percentyl).

μ = 32σ = 6P = 97,5%

x = min

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 12 elementów ma średnią 114,5 i odchylenie standardowe s = 2. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 12x̄ = 114,5s = 299%t(11) = 3,106

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 12E = 295%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 53,5 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 53,5s = 10n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 64 pomiarów ma średnią 499,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 499,8σ = 8n = 6495%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (1,5, 27). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 27)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,37

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 216/6 = 36

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−7)² + (−22)² + 11² + (−15)² + 10² + 23² = 1508

Odchylenie standardowe

s = √(1508/5) = 17,37

Odpowiedź

s = 17,37

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,6915

Standaryzuj

z = −0,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Odpowiedź

P = 0,6915

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,627

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,25 + 5·0,25 = 3,35

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,25 + 25·0,25 = 12,85

Wariancja

Var(X) = 12,85 − 3,35² = 1,627

Odpowiedź

Var(X) = 1,627

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1584

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,75¹² = 0,03168

P(X = 1) = 12·0,25·0,75¹¹ = 0,1267

Dodaj

P = 0,03168 + 0,1267 = 0,1584

Odpowiedź

P = 0,1584

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8413

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaryzuj

z = (740,2 − 750)/9,849 = −1

Górny ogon

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 43,76 min

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Powrót do x

x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min

Odpowiedź

x = 43,76 min

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 112,7

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Margines błędu

E = 3,106·2/√12 = 1,793

Przedział

114,5 ± 1,793 → [112,7, 116,3]

Odpowiedź

dolna granica = 112,7

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 139

Wyznacz n

n = (1,96·12/2)² = 138,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 139

Odpowiedź

n = 139

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,1

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Statystyka testowa

t = (53,5 − 50)/1,667 = 2,1

Odpowiedź

t = 2,1

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 497,8

Margines błędu

E = 1,96·8/√64 = 1,96

Granica przedziału

L = 499,8 − 1,96 = 497,8

Odpowiedź

L = 497,8

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9704

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 103/6 = 17,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 175

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 450,8

Współczynnik determinacji

r² = 175²/(70·450,8) = 0,9704

Odpowiedź

r² = 0,9704

Około 97,04% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 3,529

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 111/6 = 18,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43,5

Prosta regresji

b = −43,5/17,5 = −2,486

a = 18,5 − (−2,486)·3,5 = 27,2

ŷ = 27,2 − 2,486·x

Wartość przewidywana

ŷ = 27,2 + (−2,486)·1,5 = 23,47

Reszta

e = 27 − 23,47 = 3,529

Odpowiedź

e = 3,529

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1