Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 51, 55, 18, 22, 34.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 40. Jaka część P wartości leży poniżej 550?

μ = 500σ = 40x = 550

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,3, 0,15, 0,2, 0,25

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 5 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 5p = 0,6

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 53,5 a 77,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 53,5x₂ = 77,5

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 25% wszystkich wartości (25. percentyl).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 90 % dla średniej, oparty na 100 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 2. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 95 % opartego na 400 obserwacjach?

90%n₁ = 100E₁ = 295%n₂ = 400

E₂ =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 28. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 28E = 195%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 199,3 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,3s = 4n = 100

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 25 pomiarów ma średnią 87. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 87σ = 20n = 2595%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (11, 39). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(11, 39)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,66

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 180/5 = 36

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 15² + 19² + (−18)² + (−14)² + (−2)² = 1110

Odchylenie standardowe

s = √(1110/4) = 16,66

Odpowiedź

s = 16,66

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8944

Standaryzuj

z = 1,25

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Odpowiedź

P = 0,8944

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,364

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,2 + 5·0,25 = 3,2

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,2 + 25·0,25 = 12,1

Wariancja

Var(X) = 12,1 − 3,2² = 1,86

σ = √1,86 = 1,364

Odpowiedź

σ = 1,364

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,08704

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,4⁵ = 0,01024

P(X = 1) = 5·0,6·0,4⁴ = 0,0768

Dodaj

P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704

Odpowiedź

P = 0,08704

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7693

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Pole pomiędzy

P = Φ(1,25) − Φ(−1,15) = 0,8944 − 0,1251 = 0,7693

Odpowiedź

P = 0,7693

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 58,26 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Powrót do x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 pkt

Odpowiedź

x = 58,26 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 1,191

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/400) = 0,5957

Nowy margines

E₂ = 2·0,5957 = 1,191

Odpowiedź

E₂ = 1,191

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 3012

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·28/1)² = 3012

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 3012

Odpowiedź

n = 3012

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,75

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Statystyka testowa

t = (199,3 − 200)/0,4 = −1,75

Odpowiedź

t = −1,75

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 79,16

Margines błędu

E = 1,96·20/√25 = 7,84

Granica przedziału

L = 87 − 7,84 = 79,16

Odpowiedź

L = 79,16

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9383

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 116/5 = 23,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 30,8

Współczynnik determinacji

r² = −17²/(10·30,8) = 0,9383

Odpowiedź

r² = 0,9383

Około 93,83% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 5,338

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 131/6 = 21,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 207

Prosta regresji

b = 207/70 = 2,957

a = 21,83 − 2,957·7 = 1,133

ŷ = 1,133 + 2,957·x

Wartość przewidywana

ŷ = 1,133 + 2,957·11 = 33,66

Reszta

e = 39 − 33,66 = 5,338

Odpowiedź

e = 5,338

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1