Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 26, 49, 39, 38, 32.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 62?
μ = 60σ = 5x = 62
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 7 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 7
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?
n = 9p = 0,25k = 4
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Masy pasażerów z bagażem są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 85 kg i odchyleniem standardowym 12 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 10 z nich będzie mniejsza niż 906,9 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10< 906.9 kg
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 15% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 500 hσ = 40 h15%
x = h
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 16 elementów ma średnią 91,5 i odchylenie standardowe s = 9. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 16x̄ = 91,5s = 995%t(15) = 2,131
górna granica =
8.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 21. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?
σ = 21E = 590%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 25 studentów ma średni wynik 497,4 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 497,4s = 5n = 25
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 23 z 150 pacjentów leczonych metodą A i 5 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 5n₂ = 120
z =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 23?
n = 6ŷ = 23
x =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 8,585
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 184/5 = 36,8
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−10,8)² + 12,2² + 2,2² + 1,2² + (−4,8)² = 294,8
Odchylenie standardowe
s = √(294,8/4) = 8,585
Odpowiedź
s = 8,585
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,6554
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,4
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Odpowiedź
P = 0,6554
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,7209
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Odpowiedź
P = 0,7209
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1168
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 4) = 126·0,254·0,755 = 126·0,003906·0,2373 = 0,1168
Odpowiedź
P = 0,1168
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9332
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 850 kg, σT = 12·√10 = 37,95 kg
Standaryzuj
z = (906,9 − 850)/37,95 = 1,5
Prawdopodobieństwo
P = Φ(1,5) = 0,9332
Odpowiedź
P = 0,9332
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 458 h
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,15
z z tablicy
z ≈ −1,04
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 500 − 1,04·40 = 458 h
Odpowiedź
x = 458 h
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 96,29
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Margines błędu
E = 2,131·9/√16 = 4,795
Przedział
91,5 ± 4,795 → [86,71, 96,29]
Odpowiedź
górna granica = 96,29
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 48
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·21/5)² = 47,73
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 48
Odpowiedź
n = 48
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,6
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
Statystyka testowa
t = (497,4 − 500)/1 = −2,6
Odpowiedź
t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 2,991
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 23/150 = 0,1533
p̂₂ = 5/120 = 0,04167
p̂ = 28/270 = 0,1037
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,1037·0,8963·(1/150 + 1/120)) = 0,03734
Statystyka testowa
z = (0,1533 − 0,04167)/0,03734 = 2,991
Odpowiedź
z = 2,991
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9952
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 185/6 = 30,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 277
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1107
Współczynnik korelacji
r = 277/√(70·1107) = 0,9952
Odpowiedź
r = 0,9952
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 1,631
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 105/6 = 17,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51,5
Prosta regresji
b = −51,5/17,5 = −2,943
a = 17,5 − (−2,943)·3,5 = 27,8
ŷ = 27,8 − 2,943·x
Wyznacz x
x = (23 − 27,8)/(−2,943) = 1,631
Odpowiedź
x = 1,631
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1