Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 12, 57, 44, 18, 47, 14, 13.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 75?

μ = 70σ = 5x = 75

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 4 kul czerwonych i 4 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

4 / 4

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,35, 0,1, 0,05Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 167,15 a 181,5 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,15x₂ = 181,5

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 50 telefonów, średnia 77,5 h, znane odchylenie standardowe 5 h. Model 2: 40 telefonów, średnia 86,5 h, znane odchylenie standardowe 17 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 77,5 hσ₁ = 5 hn₂ = 40x̄₂ = 86,5 hσ₂ = 17 h99%

górna granica = h

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 12E = 0,599%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 40 części ma średnią długość 144,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 8 mm. Linia 2: próba 100 części ma średnią 148,4 mm, znane odchylenie standardowe 5 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).

n₁ = 40x̄₁ = 144,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 100x̄₂ = 148,4 mmσ₂ = 5 mm

z =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 40 z 200 pacjentów leczonych metodą A i 20 z 150 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 200x₂ = 20n₂ = 150

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 21.

n = 6x = 21

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 19,25

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 205/7 = 29,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−17,29)² + 27,71² + 14,71² + (−11,29)² + 17,71² + (−15,29)² + (−16,29)² = 2223

Odchylenie standardowe

s = √(2223/6) = 19,25

Odpowiedź

s = 19,25

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8413

Standaryzuj

z = 1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2143

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143

Odpowiedź

P = 0,2143

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 5,788

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 1,4, Var(X) = 1,34, σ_X = 1,158

Zmiana liniowa

σ_Y = |5|·1,158 = 5,788

Odpowiedź

σ_Y = 5,788

Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·1,4 + 4 = 11.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6309

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (167,15 − 178)/7 = −1,55

z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5

Pole pomiędzy

P = Φ(0,5) − Φ(−1,55) = 0,6915 − 0,06057 = 0,6309

Odpowiedź

P = 0,6309

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9207

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Odpowiedź

P = 0,9207

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = −1,84 h

Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 77,5 − 86,5 = −9

Błąd standardowy

SE = √(5²/50 + 17²/40) = 2,779

Margines błędu

E = 2,576·2,779 = 7,16

Przedział

−9 ± 7,16 → [−16,16, −1,84]

Odpowiedź

górna granica = −1,84 h

Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 3823

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (2,576·12/0,5)² = 3822

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 3823

Odpowiedź

n = 3823

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −2,867

Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.

Błąd standardowy różnicy

SE = √(8²/40 + 5²/100) = √1,85 = 1,36

Statystyka testowa

z = (144,5 − 148,4)/1,36 = −2,867

Odpowiedź

z = −2,867

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 1,638

Frakcje z prób

p̂₁ = 40/200 = 0,2

p̂₂ = 20/150 = 0,1333

p̂ = 60/350 = 0,1714

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,1714·0,8286·(1/200 + 1/150)) = 0,04071

Statystyka testowa

z = (0,2 − 0,1333)/0,04071 = 1,638

Odpowiedź

z = 1,638

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9566

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 351/6 = 58,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 95,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 569,5

Współczynnik korelacji

r = 95,5/√(17,5·569,5) = 0,9566

Odpowiedź

r = 0,9566

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 73,77

Średnie

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 504/6 = 84

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 358

Prosta regresji

b = 358/70 = 5,114

a = 84 − 5,114·23 = −33,63

ŷ = −33,63 + 5,114·x

Prognoza

ŷ = −33,63 + 5,114·21 = 73,77

Odpowiedź

ŷ = 73,77

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1