Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 14, 28, 12, 51, 56, 30, 20.
n = 7
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 66,25.
μ = 60σ = 5x = 66,25
z =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,25, 0,1
σ =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €1. Wygrywasz €2 z prawdopodobieństwem 0,2 i €10 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €1€2: p = 0,2€10: p = 0,05
E(G) = €
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 50 a 77 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 50x2 = 77
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 97,5% wszystkich wartości (97,5. percentyl).
μ = 178σ = 7P = 97,5%
x = cm
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 15 elementów ma średnią 32,5 i odchylenie standardowe s = 15,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 15x̄ = 32,5s = 15,595%t(14) = 2,145
E =
8.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 15 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 6,1 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 14 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 5,629, a 2,5 % powyżej 26,119.
n = 15s = 6,1 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
8 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 3,72, a odchylenie standardowe różnic 8,1. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = 3,72sd = 8,1
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 36 z 80 pacjentów leczonych metodą A i 112 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 36n₁ = 80x₂ = 112n₂ = 200
z =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5,5, 60). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(5,5, 60)
e =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 17,32
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 211/7 = 30,14
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−16,14)² + (−2,143)² + (−18,14)² + 20,86² + 25,86² + (−0,1429)² + (−10,14)² = 1801
Odchylenie standardowe
s = √(1801/6) = 17,32
Odpowiedź
s = 17,32
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: z = 1,25
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (66,25 − 60)/5 = 1,25
Odpowiedź
z = 1,25
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σ = 1,244
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 0·0,2 + 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,1 = 1,95
Średnia kwadratów
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,1 = 5,35
Wariancja
Var(X) = 5,35 − 1,95² = 1,548
σ = √1,548 = 1,244
Odpowiedź
σ = 1,244
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: E(G) = −0,1 €
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 1 (p = 0,2), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)
Wartość oczekiwana
E(G) = 1·0,2 + 9·0,05 − 1·0,75 = −0,1 €
Odpowiedź
E(G) = −0,1 €
Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8181
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5
z₂ = (77 − 65)/10 = 1,2
Pole pomiędzy
P = Φ(1,2) − Φ(−1,5) = 0,8849 − 0,06681 = 0,8181
Odpowiedź
P = 0,8181
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 191,7 cm
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Powrót do x
x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm
Odpowiedź
x = 191,72 cm
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 8,584
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Margines błędu
E = 2,145·15,5/√15 = 8,584
Odpowiedź
E = 8,584
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 9,62 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 14·6,1² = 520,9
Granice dla σ²
520,9/26,119 = 19,94
520,9/5,629 = 92,55
Granica dla σ
σ = √92,55 = 9,62 µm
Odpowiedź
σ = 9,62 µm
Przedział 95 % dla σ: [4,466, 9,62] µm.
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,299
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 8,1/√8 = 2,864
Statystyka testowa
t = 3,72/2,864 = 1,299
Odpowiedź
t = 1,299
Przy df = 7 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,365; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −1,666
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 36/80 = 0,45
p̂₂ = 112/200 = 0,56
p̂ = 148/280 = 0,5286
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,5286·0,4714·(1/80 + 1/200)) = 0,06604
Statystyka testowa
z = (0,45 − 0,56)/0,06604 = −1,666
Odpowiedź
z = −1,666
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,978
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 415/6 = 69,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 664,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2931
Współczynnik korelacji
r = 664,5/√(157,5·2931) = 0,978
Odpowiedź
r = 0,978
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 1,676
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 304/6 = 50,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67
Prosta regresji
b = 67/17,5 = 3,829
a = 50,67 − 3,829·3,5 = 37,27
ŷ = 37,27 + 3,829·x
Wartość przewidywana
ŷ = 37,27 + 3,829·5,5 = 58,32
Reszta
e = 60 − 58,32 = 1,676
Odpowiedź
e = 1,676
Punkt leży nad prostą.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1