Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 52, 18, 39, 23, 50.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 90?

μ = 100σ = 5x = 90

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 7 kul czerwonych i 4 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

7 / 4

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 12 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 12p = 0,3

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 45,5 a 77,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 45,5x₂ = 77,5

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 5% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 250 gσ = 5 g5%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 15 elementów ma średnią 75,5 i odchylenie standardowe s = 16,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 15x̄ = 75,5s = 16,599%t(14) = 2,977

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 10E = 1,595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 250; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 15. Losowa próba 25 obserwacji ma średnią 256,12. Przetestuj H₀: μ = 250 przeciw H₁: μ ≠ 250. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 250σ = 15n = 25x̄ = 256,12H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 2 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 95%δ = 2σ = 5z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 83?

n = 5ŷ = 83

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,44

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 182/5 = 36,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 15,6² + (−18,4)² + 2,6² + (−13,4)² + 13,6² = 953,2

Odchylenie standardowe

s = √(953,2/4) = 15,44

Odpowiedź

s = 15,44

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = −2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3818

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818

Odpowiedź

P = 0,3818

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,08503

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,7¹² = 0,01384

P(X = 1) = 12·0,3·0,7¹¹ = 0,07118

Dodaj

P = 0,01384 + 0,07118 = 0,08503

Odpowiedź

P = 0,08503

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8688

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Pole pomiędzy

P = Φ(1,25) − Φ(−1,95) = 0,8944 − 0,02559 = 0,8688

Odpowiedź

P = 0,8688

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 258,2 g

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,95

z z tablicy

z ≈ 1,64

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g

Odpowiedź

x = 258,2 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 88,18

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Margines błędu

E = 2,977·16,5/√15 = 12,68

Przedział

75,5 ± 12,68 → [62,82, 88,18]

Odpowiedź

górna granica = 88,18

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 171

Wyznacz n

n = (1,96·10/1,5)² = 170,7

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 171

Odpowiedź

n = 171

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,04135

Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (256,12 − 250)/3 = 2,04

Pole ogona

Φ(2,04) = 0,9793

1 − Φ(2,04) = 0,0207

Wartość p

p = 2·0,0207 = 0,04135

Odpowiedź

p = 0,04135

p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 99

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 1,645)·5/2)² = 98,56

Zaokrąglij w górę

n = 99

Odpowiedź

n = 99

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9379

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 514/6 = 85,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 877,3

Współczynnik determinacji

r² = 240²/(70·877,3) = 0,9379

Odpowiedź

r² = 0,9379

Około 93,79% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 6,979

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 392/5 = 78,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

Prosta regresji

b = 188/40 = 4,7

a = 78,4 − 4,7·6 = 50,2

ŷ = 50,2 + 4,7·x

Wyznacz x

x = (83 − 50,2)/4,7 = 6,979

Odpowiedź

x = 6,979

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1