Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 57, 38, 58, 57, 35, 31.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 62,5?

μ = 50σ = 10x = 62,5

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,3

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €5. Wygrywasz €20 z prawdopodobieństwem 0,15 i €50 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €5€20: p = 0,15€50: p = 0,01

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,1271. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,1271

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 10% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 15 elementów ma średnią 22,5 i odchylenie standardowe s = 1,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 15x̄ = 22,5s = 1,595%t(14) = 2,145

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 20E = 499%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

11 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 3,09, a odchylenie standardowe różnic 6,4. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 3,09s_d = 6,4

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 2,5 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 18. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,05moc = 90%δ = 2,5σ = 18z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 28,5.

n = 6x = 28,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,62

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 276/6 = 46

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 11² + (−8)² + 12² + 11² + (−11)² + (−15)² = 796

Odchylenie standardowe

s = √(796/5) = 12,62

Odpowiedź

s = 12,62

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1056

Standaryzuj

z = 1,25

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Odpowiedź

P = 0,1056

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 151

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,35 + 20·0,3 + 30·0,05 + 40·0,3 = 23

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,3 + 900·0,05 + 1600·0,3 = 680

Wariancja

Var(X) = 680 − 23² = 151

Odpowiedź

Var(X) = 151

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −1,5 €

Wyniki netto

G: 15 (p = 0,15), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,84)

Wartość oczekiwana

E(G) = 15·0,15 + 45·0,01 − 5·0,84 = −1,5 €

Odpowiedź

E(G) = −1,5 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,14

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,1271 = 0,8729

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8729 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,14

Odpowiedź

z = 1,14

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 187 cm

Pole po lewej

Φ(z) = 0,9

z z tablicy

z ≈ 1,28

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Odpowiedź

x = 187 cm

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 23,33

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Margines błędu

E = 2,145·1,5/√15 = 0,8308

Przedział

22,5 ± 0,8308 → [21,67, 23,33]

Odpowiedź

górna granica = 23,33

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 166

Wyznacz n

n = (2,576·20/4)² = 165,9

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 166

Odpowiedź

n = 166

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,601

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 6,4/√11 = 1,93

Statystyka testowa

t = 3,09/1,93 = 1,601

Odpowiedź

t = 1,601

Przy df = 10 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,228; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 445

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((1,645 + 1,282)·18/2,5)² = 444,1

Zaokrąglij w górę

n = 445

Odpowiedź

n = 445

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9453

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 72/5 = 14,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 115,2

Współczynnik determinacji

r² = −33²/(10·115,2) = 0,9453

Odpowiedź

r² = 0,9453

Około 94,53% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 111,3

Średnie

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 507/6 = 84,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 703,5

Prosta regresji

b = 703,5/157,5 = 4,467

a = 84,5 − 4,467·22,5 = −16

ŷ = −16 + 4,467·x

Prognoza

ŷ = −16 + 4,467·28,5 = 111,3

Odpowiedź

ŷ = 111,3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1