Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 42, 38, 19, 59, 19, 48.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży poniżej 72,5?

μ = 60σ = 10x = 72,5

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,15, 0,25Y = 2X + 4

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,7157. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,7157

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 25 elementów ma średnią 53 i odchylenie standardowe s = 12,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 25x̄ = 53s = 12,599%t(24) = 2,797

E =

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 11 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 6,3 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 10 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 3,247, a 2,5 % powyżej 20,483.

n = 11s = 6,3 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 114,4 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 114,4s = 15n = 49

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 100 pomiarów ma średnią 194,2. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 194,2σ = 20n = 10095%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 15,5.

n = 6x = 15,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,98

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 225/6 = 37,5

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 4,5² + 0,5² + (−18,5)² + 21,5² + (−18,5)² + 10,5² = 1278

Odchylenie standardowe

s = √(1278/5) = 15,98

Odpowiedź

s = 15,98

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8944

Standaryzuj

z = 1,25

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Odpowiedź

P = 0,8944

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 0,8047

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Wariancja

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Odpowiedź

σ = 0,8047

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 2,227

Rozrzut X

μ = 2,4, Var(X) = 1,24, σ_X = 1,114

Zmiana liniowa

σ_Y = |2|·1,114 = 2,227

Odpowiedź

σ_Y = 2,227

Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·2,4 + 4 = 8,8.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −0,57

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,7157 = 0,2843

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,2843 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −0,57

Odpowiedź

z = −0,57

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8133

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Odpowiedź

P = 0,8133

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 6,992

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Margines błędu

E = 2,797·12,5/√25 = 6,992

Odpowiedź

E = 6,992

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 4,402 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 10·6,3² = 396,9

Granice dla σ²

396,9/20,483 = 19,38

396,9/3,247 = 122,2

Granica dla σ

σ = √19,38 = 4,402 µm

Odpowiedź

σ = 4,402 µm

Przedział 95 % dla σ: [4,402, 11,06] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,613

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Statystyka testowa

t = (114,4 − 120)/2,143 = −2,613

Odpowiedź

t = −2,613

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 198,1

Margines błędu

E = 1,96·20/√100 = 3,92

Granica przedziału

U = 194,2 + 3,92 = 198,1

Odpowiedź

U = 198,1

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9059

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 143/6 = 23,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 34,83

Współczynnik determinacji

r² = −23,5²/(17,5·34,83) = 0,9059

Odpowiedź

r² = 0,9059

Około 90,59% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 44,52

Średnie

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 418/6 = 69,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 660

Prosta regresji

b = 660/157,5 = 4,19

a = 69,67 − 4,19·21,5 = −20,43

ŷ = −20,43 + 4,19·x

Prognoza

ŷ = −20,43 + 4,19·15,5 = 44,52

Odpowiedź

ŷ = 44,52

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1