Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 39, 14, 11, 44, 25, 58.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 75. Wyznacz wynik z z dla wyniku 545.

μ = 500σ = 75x = 545

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,05, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 12 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 12p = 0,2

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,8789. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,8789

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 30% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 8 elementów ma średnią 62 i odchylenie standardowe s = 7,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 8x̄ = 62s = 7,595%t(7) = 2,365

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 26. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 26E = 1,590%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 100; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 20. Losowa próba 25 obserwacji ma średnią 96. Przetestuj H₀: μ = 100 przeciw H₁: μ < 100. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 100σ = 20n = 25x̄ = 96H₁: μ < μ₀

p =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 2,5 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 14. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 90%δ = 2,5σ = 14z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 16.

n = 6x = 16

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 18,35

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 191/6 = 31,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 7,167² + (−17,83)² + (−20,83)² + 12,17² + (−6,833)² + 26,17² = 1683

Odchylenie standardowe

s = √(1683/5) = 18,35

Odpowiedź

s = 18,35

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,6

Standaryzuj

z = (545 − 500)/75 = 0,6

Odpowiedź

z = 0,6

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,427

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,65

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,15

Wariancja

Var(X) = 4,15 − 1,65² = 1,427

Odpowiedź

Var(X) = 1,427

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2749

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,8¹² = 0,06872

P(X = 1) = 12·0,2·0,8¹¹ = 0,2062

Dodaj

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Odpowiedź

P = 0,2749

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,55

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,8789)/2 = 0,9394

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9394 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,55

Odpowiedź

z = 1,55

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 247,4 g

Pole po lewej

Φ(z) = 0,3

z z tablicy

z ≈ −0,52

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Odpowiedź

x = 247,4 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 68,27

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Margines błędu

E = 2,365·7,5/√8 = 6,271

Przedział

62 ± 6,271 → [55,73, 68,27]

Odpowiedź

górna granica = 68,27

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 814

Wyznacz n

n = (1,645·26/1,5)² = 813

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 814

Odpowiedź

n = 814

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,1587

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 20/√25 = 4

z = (96 − 100)/4 = −1

Pole ogona

Φ(1) = 0,8413

1 − Φ(1) = 0,1587

Wartość p

p = 0,1587

Odpowiedź

p = 0,1587

p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 409

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 1,282)·14/2,5)² = 408,2

Zaokrąglij w górę

n = 409

Odpowiedź

n = 409

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9171

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 284/6 = 47,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 713,3

Współczynnik determinacji

r² = 214²/(70·713,3) = 0,9171

Odpowiedź

r² = 0,9171

Około 91,71% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 80,85

Średnie

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 614/6 = 102,3

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 376

Prosta regresji

b = 376/70 = 5,371

a = 102,3 − 5,371·20 = −5,095

ŷ = −5,095 + 5,371·x

Prognoza

ŷ = −5,095 + 5,371·16 = 80,85

Odpowiedź

ŷ = 80,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1