Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 22, 38, 46, 14, 26, 10.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 77,5.

μ = 70σ = 5x = 77,5

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 6 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 6k = 2

N =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €50 z prawdopodobieństwem 0,2 i €500 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€50: p = 0,2€500: p = 0,02

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,7660. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,7660

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 25% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 100 pktσ = 15 pkt25%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 16 elementów ma średnią 41 i odchylenie standardowe s = 13,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 16x̄ = 41s = 13,590%t(15) = 1,753

E =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 20E = 295%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 5 uczniów, średni wynik 114, odchylenie standardowe 10,5. Grupa 2: 9 uczniów, średni wynik 134,6, odchylenie standardowe 11,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 5x̄₁ = 114s₁ = 10,5n₂ = 9x̄₂ = 134,6s₂ = 11,5

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 38 z 150 pacjentów leczonych metodą A i 37 z 100 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 37n₂ = 100

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,86

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 156/6 = 26

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−4)² + 12² + 20² + (−12)² + 0² + (−16)² = 960

Odchylenie standardowe

s = √(960/5) = 13,86

Odpowiedź

s = 13,86

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,5

Standaryzuj

z = (77,5 − 70)/5 = 1,5

Odpowiedź

z = 1,5

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 15

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

Odpowiedź

N = 15

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 10 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 40 (p = 0,2), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)

Wartość oczekiwana

E(G) = 40·0,2 + 490·0,02 − 10·0,78 = 10 €

Odpowiedź

E(G) = 10 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,19

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,7660)/2 = 0,8830

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8830 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,19

Odpowiedź

z = 1,19

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 90 pkt

Pole po lewej

Φ(z) = 0,25

z z tablicy

z ≈ −0,67

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 100 − 0,67·15 = 90 pkt

Odpowiedź

x = 90 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 5,916

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Margines błędu

E = 1,753·13,5/√16 = 5,916

Odpowiedź

E = 5,916

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 385

Wyznacz n

n = (1,96·20/2)² = 384,2

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 385

Odpowiedź

n = 385

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −3,304

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (4·10,5² + 8·11,5²)/12 = 124,9

s_p = 11,18

Błąd standardowy

SE = 11,18·√(1/5 + 1/9) = 6,234

Statystyka testowa

t = (114 − 134,6)/6,234 = −3,304

Odpowiedź

t = −3,304

Przy df = 12 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,179; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −1,972

Frakcje z prób

p̂₁ = 38/150 = 0,2533

p̂₂ = 37/100 = 0,37

p̂ = 75/250 = 0,3

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,3·0,7·(1/150 + 1/100)) = 0,05916

Statystyka testowa

z = (0,2533 − 0,37)/0,05916 = −1,972

Odpowiedź

z = −1,972

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9862

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 468/5 = 93,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 366

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1509

Współczynnik determinacji

r² = 366²/(90·1509) = 0,9862

Odpowiedź

r² = 0,9862

Około 98,62% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 46,8

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 210/5 = 42

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32

Prosta regresji

b = 32/10 = 3,2

a = 42 − 3,2·3 = 32,4

ŷ = 32,4 + 3,2·x

Prognoza

ŷ = 32,4 + 3,2·4,5 = 46,8

Odpowiedź

ŷ = 46,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1