Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 52, 14, 26, 48, 24.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 176?

μ = 170σ = 15x = 176

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 6

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 10 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 10p = 0,7

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy worków cementu są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 kg i odchyleniem standardowym 0,5 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 10 z nich przekroczy 252,4 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 252,4 kg

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 80% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 100 pktσ = 15 pkt80%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 30 elementów ma średnią 77,5 i odchylenie standardowe s = 1. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 30x̄ = 77,5s = 195%t(29) = 2,045

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 22. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 22E = 495%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 498,4 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,4s = 5n = 100

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 49 pomiarów ma średnią 101,5. Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 101,5σ = 8n = 4999%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 20.

n = 6x = 20

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,41

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 164/5 = 32,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 19,2² + (−18,8)² + (−6,8)² + 15,2² + (−8,8)² = 1077

Odchylenie standardowe

s = √(1077/4) = 16,41

Odpowiedź

s = 16,41

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,3446

Standaryzuj

z = 0,4

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Odpowiedź

P = 0,3446

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,6651

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Odpowiedź

P = 0,6651

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,0001437

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,3¹⁰ = 5,905 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 10·0,7·0,3⁹ = 0,0001378

Dodaj

P = 5,905 × 10⁻⁶ + 0,0001378 = 0,0001437

Odpowiedź

P = 0,0001437

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,06426

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

Standaryzuj

z = (252,4 − 250)/1,581 = 1,52

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(1,52) = 0,06426

Odpowiedź

P = 0,06426

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 87,4 pkt

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,2

z z tablicy

z ≈ −0,84

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 100 − 0,84·15 = 87,4 pkt

Odpowiedź

x = 87,4 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 77,87

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Margines błędu

E = 2,045·1/√30 = 0,3734

Przedział

77,5 ± 0,3734 → [77,13, 77,87]

Odpowiedź

górna granica = 77,87

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 117

Wyznacz n

n = (1,96·22/4)² = 116,2

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 117

Odpowiedź

n = 117

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −3,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Statystyka testowa

t = (498,4 − 500)/0,5 = −3,2

Odpowiedź

t = −3,2

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 104,4

Margines błędu

E = 2,576·8/√49 = 2,944

Granica przedziału

U = 101,5 + 2,944 = 104,4

Odpowiedź

U = 104,4

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9433

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 50/5 = 10

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 108

Współczynnik korelacji

r = 62/√(40·108) = 0,9433

Odpowiedź

r = 0,9433

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 103

Średnie

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 618/6 = 103

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 306

Prosta regresji

b = 306/70 = 4,371

a = 103 − 4,371·20 = 15,57

ŷ = 15,57 + 4,371·x

Prognoza

ŷ = 15,57 + 4,371·20 = 103

Odpowiedź

ŷ = 103

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1