Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 10, 44, 24, 41, 32, 51, 44.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 80.

μ = 70σ = 10x = 80

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 5

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 7 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?

n = 7p = 0,5k = 5

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 172,75 a 185 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 178σ = 7x₁ = 172,75x₂ = 185

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 25% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

U 8 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 2,1 i odchylenie standardowe 4,5. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.

n = 8d̄ = 2,1s_d = 4,590%t(7) = 1,895

E = mmHg

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 30. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 30E = 399%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 80 części ma średnią długość 126,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 15 mm. Linia 2: próba 80 części ma średnią 130,6 mm, znane odchylenie standardowe 7 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).

n₁ = 80x̄₁ = 126,5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 80x̄₂ = 130,6 mmσ₂ = 7 mm

z =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 120 z 300 pacjentów leczonych metodą A i 53 z 150 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 120n₁ = 300x₂ = 53n₂ = 150

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 12?

n = 6ŷ = 12

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,19

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 246/7 = 35,14

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−25,14)² + 8,857² + (−11,14)² + 5,857² + (−3,143)² + 15,86² + 8,857² = 1209

Odchylenie standardowe

s = √(1209/6) = 14,19

Odpowiedź

s = 14,19

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1

Standaryzuj

z = (80 − 70)/10 = 1

Odpowiedź

z = 1

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5981

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Odpowiedź

P = 0,5981

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1641

Wzór dwumianowy

P(X = 5) = 21·0,5⁵·0,5² = 21·0,03125·0,25 = 0,1641

Odpowiedź

P = 0,1641

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6147

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (172,75 − 178)/7 = −0,75

z₂ = (185 − 178)/7 = 1

Pole pomiędzy

P = Φ(1) − Φ(−0,75) = 0,8413 − 0,2266 = 0,6147

Odpowiedź

P = 0,6147

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 527 h

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,75

z z tablicy

z ≈ 0,67

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 + 0,67·40 = 527 h

Odpowiedź

x = 527 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 3,015 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 7, t = 1,895

Margines błędu

E = 1,895·4,5/√8 = 3,015

Odpowiedź

E = 3,015 mmHg

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 664

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (2,576·30/3)² = 663,6

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 664

Odpowiedź

n = 664

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −2,215

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Błąd standardowy różnicy

SE = √(15²/80 + 7²/80) = √3,425 = 1,851

Statystyka testowa

z = (126,5 − 130,6)/1,851 = −2,215

Odpowiedź

z = −2,215

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 0,9593

Frakcje z prób

p̂₁ = 120/300 = 0,4

p̂₂ = 53/150 = 0,3533

p̂ = 173/450 = 0,3844

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,3844·0,6156·(1/300 + 1/150)) = 0,04865

Statystyka testowa

z = (0,4 − 0,3533)/0,04865 = 0,9593

Odpowiedź

z = 0,9593

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,8188

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 114/6 = 19

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 76

Współczynnik determinacji

r² = −33²/(17,5·76) = 0,8188

Odpowiedź

r² = 0,8188

Około 81,88% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 3,111

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 130/6 = 21,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

Prosta regresji

b = 174/70 = 2,486

a = 21,67 − 2,486·7 = 4,267

ŷ = 4,267 + 2,486·x

Wyznacz x

x = (12 − 4,267)/2,486 = 3,111

Odpowiedź

x = 3,111

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1