Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 35, 36, 27, 26, 27, 46.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 85?

μ = 100σ = 15x = 85

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 8 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 8k = 2

N =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,4, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?

n = 9p = 0,4k = 5

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9842. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9842

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 30% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 10,5 i odchylenie standardowe s = 6,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 21x̄ = 10,5s = 6,599%t(20) = 2,845

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 3. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 3E = 0,595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 74,36 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 74,36s = 5n = 49

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 18 z 120 pacjentów leczonych metodą A i 63 z 250 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 18n₁ = 120x₂ = 63n₂ = 250

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 21Σy = 103Σx² = 91Σy² = 1835Σxy = 328

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 18?

n = 6ŷ = 18

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 7,782

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 197/6 = 32,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 2,167² + 3,167² + (−5,833)² + (−6,833)² + (−5,833)² + 13,17² = 302,8

Odchylenie standardowe

s = √(302,8/5) = 7,782

Odpowiedź

s = 7,782

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8413

Standaryzuj

z = −1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 28

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28

Odpowiedź

N = 28

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1672

Wzór dwumianowy

P(X = 5) = 126·0,4⁵·0,6⁴ = 126·0,01024·0,1296 = 0,1672

Odpowiedź

P = 0,1672

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −2,15

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,9842 = 0,0158

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,0158 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −2,15

Odpowiedź

z = −2,15

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 174,4 cm

Pole po lewej

Φ(z) = 0,3

z z tablicy

z ≈ −0,52

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Odpowiedź

x = 174,4 cm

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 6,465

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Margines błędu

E = 2,845·6,5/√21 = 4,035

Przedział

10,5 ± 4,035 → [6,465, 14,54]

Odpowiedź

dolna granica = 6,465

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 139

Wyznacz n

n = (1,96·3/0,5)² = 138,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 139

Odpowiedź

n = 139

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,896

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Statystyka testowa

t = (74,36 − 75)/0,7143 = −0,896

Odpowiedź

t = −0,896

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −2,221

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 18/120 = 0,15

p̂₂ = 63/250 = 0,252

p̂ = 81/370 = 0,2189

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,2189·0,7811·(1/120 + 1/250)) = 0,04592

Statystyka testowa

z = (0,15 − 0,252)/0,04592 = −2,221

Odpowiedź

z = −2,221

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9503

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 328 − 21·103/6 = −32,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1835 − 103²/6 = 66,83

Współczynnik korelacji

r = −32,5/√(17,5·66,83) = −0,9503

Odpowiedź

r = −0,9503

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 2,771

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 100/6 = 16,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

Prosta regresji

b = −32/17,5 = −1,829

a = 16,67 − (−1,829)·3,5 = 23,07

ŷ = 23,07 − 1,829·x

Wyznacz x

x = (18 − 23,07)/(−1,829) = 2,771

Odpowiedź

x = 2,771

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1