Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 39, 54, 45, 59, 28, 20.
n = 6
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 90?
μ = 60σ = 15x = 90
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 8 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 8
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 7 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,6, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 7p = 0,6k = 3
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 167,5 a 181,5 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 178σ = 7x1 = 167,5x2 = 181,5
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 85% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt85%
x = pkt
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 30 elementów ma średnią 15,5 i odchylenie standardowe s = 12. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 30x̄ = 15,5s = 1299%t(29) = 2,756
E =
8.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 21. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 21E = 295%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 50 części ma średnią długość 131 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 6 mm. Linia 2: próba 40 części ma średnią 133,6 mm, znane odchylenie standardowe 4 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
n₁ = 50x̄₁ = 131 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 40x̄₂ = 133,6 mmσ₂ = 4 mm
z =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 12. W rzeczywistości średnia wynosi 83. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.
μ₀ = 80μ = 83σ = 12n = 64α = 0,05
β = %
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 95Σy = 534Σx² = 1845Σy² = 58030Σxy = 10344
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (10, 60). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(10, 60)
e =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 14,99
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 245/6 = 40,83
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−1,833)² + 13,17² + 4,167² + 18,17² + (−12,83)² + (−20,83)² = 1123
Odchylenie standardowe
s = √(1123/5) = 14,99
Odpowiedź
s = 14,99
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,9772
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,7674
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Odpowiedź
P = 0,7674
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1935
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 3) = 35·0,63·0,44 = 35·0,216·0,0256 = 0,1935
Odpowiedź
P = 0,1935
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,6247
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5
z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5
Pole pomiędzy
P = Φ(0,5) − Φ(−1,5) = 0,6915 − 0,06681 = 0,6247
Odpowiedź
P = 0,6247
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 115,6 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,85
z z tablicy
z ≈ 1,04
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 + 1,04·15 = 115,6 pkt
Odpowiedź
x = 115,6 pkt
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 6,038
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Margines błędu
E = 2,756·12/√30 = 6,038
Odpowiedź
E = 6,038
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 424
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·21/2)² = 423,5
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 424
Odpowiedź
n = 424
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −2,457
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(6²/50 + 4²/40) = √1,12 = 1,058
Statystyka testowa
z = (131 − 133,6)/1,058 = −2,457
Odpowiedź
z = −2,457
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: β = 36,13 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 80 + 1,645·1,5 = 82,47
z przy prawdziwej średniej
z = (82,47 − 83)/1,5 = −0,355
Błąd II rodzaju
moc = P(Z > −0,355) = 63,87%
β = 100% − 63,87% = 36,13%
Odpowiedź
β = 36,13%
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9906
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 10344 − 95·534/5 = 198
Sxx = 1845 − 95²/5 = 40
Syy = 58030 − 534²/5 = 998,8
Współczynnik korelacji
r = 198/√(40·998,8) = 0,9906
Odpowiedź
r = 0,9906
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 4,6
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 253/5 = 50,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Prosta regresji
b = 64/40 = 1,6
a = 50,6 − 1,6·7 = 39,4
ŷ = 39,4 + 1,6·x
Wartość przewidywana
ŷ = 39,4 + 1,6·10 = 55,4
Reszta
e = 60 − 55,4 = 4,6
Odpowiedź
e = 4,6
Punkt leży nad prostą.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1