Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 53, 40, 18, 38, 55, 11, 16.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 78?

μ = 70σ = 20x = 78

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €30 z prawdopodobieństwem 0,3 i €200 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€30: p = 0,3€200: p = 0,05

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 92,5 a 112 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 100σ = 15x₁ = 92,5x₂ = 112

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 10% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 10 elementów ma średnią 29,5 i odchylenie standardowe s = 7,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 10x̄ = 29,5s = 7,590%t(9) = 1,833

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,4 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 95 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,03?

p ≈ 0,4E = 0,0395%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 109,7 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 109,7s = 20n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 81 pomiarów ma średnią 495,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 495,8σ = 15n = 8199%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (9, 24). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(9, 24)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 18,06

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 231/7 = 33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 20² + 7² + (−15)² + 5² + 22² + (−22)² + (−17)² = 1956

Odchylenie standardowe

s = √(1956/6) = 18,06

Odpowiedź

s = 18,06

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,6554

Standaryzuj

z = 0,4

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Odpowiedź

P = 0,6554

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,245

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,5

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,8

Wariancja

Var(X) = 3,8 − 1,5² = 1,55

σ = √1,55 = 1,245

Odpowiedź

σ = 1,245

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 9 €

Wyniki netto

G: 20 (p = 0,3), 190 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)

Wartość oczekiwana

E(G) = 20·0,3 + 190·0,05 − 10·0,65 = 9 €

Odpowiedź

E(G) = 9 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,4796

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5

z₂ = (112 − 100)/15 = 0,8

Pole pomiędzy

P = Φ(0,8) − Φ(−0,5) = 0,7881 − 0,3085 = 0,4796

Odpowiedź

P = 0,4796

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 243,6 g

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,1

z z tablicy

z ≈ −1,28

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Odpowiedź

x = 243,6 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 33,85

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Margines błędu

E = 1,833·7,5/√10 = 4,347

Przedział

29,5 ± 4,347 → [25,15, 33,85]

Odpowiedź

górna granica = 33,85

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1025

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 1,96²·0,4·0,6/0,03² = 1024

Zaokrąglij w górę

n = 1025

Odpowiedź

n = 1025

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −3,09

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Statystyka testowa

t = (109,7 − 120)/3,333 = −3,09

Odpowiedź

t = −3,09

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 491,5

Margines błędu

E = 2,576·15/√81 = 4,293

Granica przedziału

L = 495,8 − 4,293 = 491,5

Odpowiedź

L = 491,5

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9866

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 687/6 = 114,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 826,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4456

Współczynnik korelacji

r = 826,5/√(157,5·4456) = 0,9866

Odpowiedź

r = 0,9866

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −4,8

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 99/5 = 19,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Prosta regresji

b = 120/40 = 3

a = 19,8 − 3·6 = 1,8

ŷ = 1,8 + 3·x

Wartość przewidywana

ŷ = 1,8 + 3·9 = 28,8

Reszta

e = 24 − 28,8 = −4,8

Odpowiedź

e = −4,8

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1