Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 41, 52, 59, 26, 11.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 60. Jaka część P wartości leży powyżej 470?
μ = 500σ = 60x = 470
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 10. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1Y = 2X + 10
σY =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 22,7 a 33,2 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 32σ = 6x1 = 22,7x2 = 33,2
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 13 elementów ma średnią 37 i odchylenie standardowe s = 14. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 13x̄ = 37s = 1495%t(12) = 2,179
dolna granica =
8.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 33. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?
σ = 33E = 2,595%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 81 studentów ma średni wynik 200,3 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 200,3s = 4n = 81
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 100 pomiarów ma średnią 75,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 99 % dla średniej.
x̄ = 75,6σ = 4n = 10099%
L =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (2,5, 15). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 15)
e =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 19,49
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 189/5 = 37,8
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 3,2² + 14,2² + 21,2² + (−11,8)² + (−26,8)² = 1519
Odchylenie standardowe
s = √(1519/4) = 19,49
Odpowiedź
s = 19,49
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,6915
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −0,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Odpowiedź
P = 0,6915
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 0,6475
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Średnia kwadratów
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Wariancja
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
Odpowiedź
Var(X) = 0,6475
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 3,852
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 2,3, Var(X) = 3,71, σX = 1,926
Zmiana liniowa
σY = |2|·1,926 = 3,852
Odpowiedź
σY = 3,852
Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·2,3 + 10 = 14,6.
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,5187
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55
z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2
Pole pomiędzy
P = Φ(0,2) − Φ(−1,55) = 0,5793 − 0,06057 = 0,5187
Odpowiedź
P = 0,5187
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8665
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665
Odpowiedź
P = 0,8665
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 28,54
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margines błędu
E = 2,179·14/√13 = 8,461
Przedział
37 ± 8,461 → [28,54, 45,46]
Odpowiedź
dolna granica = 28,54
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 670
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·33/2,5)² = 669,4
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 670
Odpowiedź
n = 670
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 0,675
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Statystyka testowa
t = (200,3 − 200)/0,4444 = 0,675
Odpowiedź
t = 0,675
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 74,57
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 2,576·4/√100 = 1,03
Granica przedziału
L = 75,6 − 1,03 = 74,57
Odpowiedź
L = 74,57
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,8553
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 285/6 = 47,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 77,5
Współczynnik korelacji
r = 31,5/√(17,5·77,5) = 0,8553
Odpowiedź
r = 0,8553
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −4,876
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 110/6 = 18,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Prosta regresji
b = −27/17,5 = −1,543
a = 18,33 − (−1,543)·3,5 = 23,73
ŷ = 23,73 − 1,543·x
Wartość przewidywana
ŷ = 23,73 + (−1,543)·2,5 = 19,88
Reszta
e = 15 − 19,88 = −4,876
Odpowiedź
e = −4,876
Punkt leży pod prostą.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1