Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9875. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 80% wszystkich wartości (80. percentyl).
U 11 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 2 i odchylenie standardowe 1,1. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 28. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?
12 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi −5,77, a odchylenie standardowe różnic 5,4. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
Próba 36 pomiarów ma średnią 100,2. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (7, 13). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.
Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 9 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²crit na poziomie istotności α = 0,05.
Odpowiedź: z = −2,24
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Znajdź 0,0125 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
Odpowiedź: x = 183,9 cm
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Odpowiedź: dolna granica = 1,399 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Odpowiedź: n = 121
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
Odpowiedź: t = −3,701
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Przy df = 11 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,201; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
Odpowiedź: L = 98,89
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Odpowiedź: r = −0,9602
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Odpowiedź: e = 1,833
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Punkt leży nad prostą.
Odpowiedź: χ² = 9,17
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.
Odpowiedź: χ²crit = 15,51
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference