Statystyka 2: Wnioskowanie statystyczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa
χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja
odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Rozkład normalnyŚredni
32 min29,5 minX + Y?

X ma rozkład normalny ze średnią 12 min i odchyleniem standardowym 1,5 min; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 20 min i odchyleniem standardowym 2 min. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 29,5 min. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 29,5 min
P =
2.Rozkład normalnyTrudny
0,04 mm0D − d?

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
3.Przedziały ufnościŚredni
n = 16, s = 4LUx̄ = 58,5E = ?99%

Próba 16 elementów ma średnią 58,5 i odchylenie standardowe s = 4. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 16x̄ = 58,5s = 499%t(15) = 2,947
E =
4.Przedziały ufnościTrudny
σ = 32, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,590%

Odchylenie standardowe populacji wynosi 32. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?

σ = 32E = 2,590%
n =
5.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −1,9901,99

Próba 81 studentów ma średni wynik 121,5 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,5s = 8n = 81
t =
6.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,590%

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 4E = 1,590%
n =
7.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy355462574677779885xy468607080

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 33Σy = 432Σx² = 199Σy² = 31740Σxy = 2478
r =
8.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy246356456556662772xy246506070ŷ = 54

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 54?

n = 6ŷ = 54
x =
9.Testy chi-kwadratŚredni
poprawabrak poprawySumanowy lek314980placebo6951120Suma100100200

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 2002 × 2
χ² =
10.Testy chi-kwadratTrudny
taknieSumazakład A275380zakład B213960zakład C124860Suma60140200dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,01, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.

N = 2003 × 2α = 0,01
χ² =

3Roztwory

1.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8413

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standaryzuj

z = (29,5 − 32)/2,5 = −1

Górny ogon

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413
2.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9452

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Odpowiedź

P = 0,9452
3.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 2,947

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Margines błędu

E = 2,947·4/√16 = 2,947

Odpowiedź

E = 2,947
4.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 444

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,645·32/2,5)² = 443,4

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 444

Odpowiedź

n = 444
5.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,688

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Statystyka testowa

t = (121,5 − 120)/0,8889 = 1,688

Odpowiedź

t = 1,688
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

6.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 20

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Wyznacz n

n = (1,645·4/1,5)² = 19,24

Zaokrąglij w górę

n = 20

Odpowiedź

n = 20
7.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9668

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

Sxy = 2478 − 33·432/6 = 102
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 31740 − 432²/6 = 636

Współczynnik korelacji

r = 102/√(17,5·636) = 0,9668

Odpowiedź

r = 0,9668
8.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 3,554

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 348/6 = 58

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

Prosta regresji

b = 74/17,5 = 4,229
a = 58 − 4,229·4,5 = 38,97
ŷ = 38,97 + 4,229·x

Wyznacz x

x = (54 − 38,97)/4,229 = 3,554

Odpowiedź

x = 3,554
9.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 6,75

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

nowy lek: 80·100/200 = 40, 80·100/200 = 40
placebo: 120·100/200 = 60, 120·100/200 = 60

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (31 − 40)²/40 + (49 − 40)²/40 + (69 − 60)²/60 + (51 − 60)²/60
χ² = 6,75

Odpowiedź

χ² = 6,75

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

10.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 4,107

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

zakład A: 24, 56
zakład B: 18, 42
zakład C: 18, 42

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (27 − 24)²/24 + (53 − 56)²/56 + (21 − 18)²/18 + (39 − 42)²/42 + (12 − 18)²/18 + (48 − 42)²/42
χ² = 4,107

Decyzja

df = 2, χ²crit = 9,210
4,107 < 9,210

Odpowiedź

χ² = 4,107

χ² jest mniejsze od wartości krytycznej, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀: brak istotnych dowodów na związek.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference