Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 247,5 a 260 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 50 telefonów, średnia 128,5 h, znane odchylenie standardowe 7 h. Model 2: 50 telefonów, średnia 141 h, znane odchylenie standardowe 6 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,6 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,01?
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 60 części ma średnią długość 54 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 19 mm. Linia 2: próba 100 części ma średnią 62,7 mm, znane odchylenie standardowe 19 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 12. W rzeczywistości średnia wynosi 83,15. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (10, 64). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.
Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,05, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.
Odpowiedź: P = 0,6687
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Odpowiedź: x = 87,38 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Odpowiedź: górna granica = −10,36 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
Odpowiedź: n = 15926
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Odpowiedź: z = −2,804
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
Odpowiedź: 1 − β = 67,54 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Odpowiedź: r² = 0,9896
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Około 98,96% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
Odpowiedź: e = −4,829
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Punkt leży pod prostą.
Odpowiedź: χ² = 3,63
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.
Odpowiedź: χ² = 1,607
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
χ² jest mniejsze od wartości krytycznej, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀: brak istotnych dowodów na związek.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference