Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP₁ = 20 kN w 4 mP₂ = 15 kN w 5 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 1,5 m od A działa siła P nachylona pod kątem 45° do poziomu, a w odległości 3,5 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji R_A w podporze nieprzesuwnej A.

L = 6 mP = 15 kN w 1,5 m, θ = 45°Q = 75 kN w 3,5 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 8 mP₁ = 35 kN w 3 mP₂ = 60 kN w 5 m

M_max = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mw = 10 kN/m od 0 do 3 m

M_max = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 4 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 40 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 6 m od Aobciążenie pionowe = 55 kNobciążenie poziome = 5 kN →

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 18 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 3,5 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 3 kNb = 3,5 mL = 8 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 9,167 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·4 + 15·5

R_B = 155/6 = 25,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 25,83 = 9,167 kN

Odpowiedź

R_A = 9,167 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 40,61 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

P_v = 15·sin 45° = 10,61 kN

P_h = 15·cos 45° = 10,61 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10,61·1,5 + 75·3,5 → R_B = 46,4 kN

A_y = 10,61 + 75 − 46,4 = 39,2 kN

A_x = P_h = 10,61 kN

Wypadkowa w A

R_A = √(10,61² + 39,2²) = 40,61 kN

Odpowiedź

R_A = 40,61 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 151,9 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 60·5

R_B = 405/8 = 50,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 50,63 = 44,38 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·3 = 44,38·3 = 133,1 kN·m

pod P₂: M = R_B·3 = 50,63·3 = 151,9 kN·m

Największa wartość

M_max = 151,9 kN·m (pod P₂)

Odpowiedź

M_max = 151,9 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 22,05 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3·1,5

R_B = 45/5 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 9 = 21 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 21/10 = 2,1 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 21·2,1 − 10·2,1²/2 = 22,05 kN·m

Odpowiedź

M_max = 22,05 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −29,81 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·2 → C_y = 13,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 13,33 = 26,67 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −26,67/0,8944 = −29,81 kN

Odpowiedź

F_AB = −29,81 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −48,91 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·6 + 5·4 → C_y = 43,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 43,75 = 11,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −43,75/0,8944 = −48,91 kN

Odpowiedź

F_BC = −48,91 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 3,541 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 18000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(3EI) = 18000·1500³/(3·8,4 × 10¹²) = 2,411 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 1,13 mm

Dodaj

δ = 2,411 + 1,13 = 3,541 mm

Odpowiedź

δ = 3,541 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 23,75 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 3000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 23,75 mm

Odpowiedź

δ_max = 23,75 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 269,2 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1500 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

Odpowiedź

P_cr = 269,2 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 55,08 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/6,25 = 112

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 55,08 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis