Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 55 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?5 m1 m2 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 8 mP1 = 55 kN w 5 mP2 = 50 kN w 6 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
P = 75 kN, 40°Q = 50 kNABRA​ = ?2 m6 m2 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2 m od A działa siła P nachylona pod kątem 40° do poziomu, a w odległości 8 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji RA w podporze nieprzesuwnej A.

L = 10 mP = 75 kN w 2 m, θ = 40°Q = 50 kN w 8 m
RA = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
M0​ = 35 kN·mAB2,5 m3,5 m

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 35 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 2,5 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na prawo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mM0 = 35 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 2,5 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 5 kN/mP = 65 kNAB1,5 m2,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 4 mP = 65 kN w 1,5 mw = 5 kN/m od 0 do 4 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB60 kN6 m5 m4 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 4 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 60 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB35 kN20 kN6 m5 m3 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 35 kNobciążenie poziome = 20 kN →
FAC = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 10 kNABδ2 m1 m

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2 m od A. Wyznacz ugięcie δP pod siłą.

P = 10 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (stal)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 5 kN/mδL = 4 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności Ireq, który spełnia ten warunek.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 2 md = 20 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 6 md = 30 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 71,88 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

P1​ = 55 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​5 m1 m2 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·8 = 55·5 + 50·6
RB = 575/8 = 71,88 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 71,88 = 33,13 kN

Odpowiedź

RB = 71,88 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 75,23 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

Pv = 75·sin 40° = 48,21 kN
Ph = 75·cos 40° = 57,45 kN

Reakcje

ΣMA = 0: RB·10 = 48,21·2 + 50·8 → RB = 49,64 kN
Ay = 48,21 + 50 − 49,64 = 48,57 kN
Ax = Ph = 57,45 kN

Wypadkowa w A

RA = √(57,45² + 48,57²) = 75,23 kN

Odpowiedź

RA = 75,23 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 20,42 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 35/6 = 5,833 kN (w górę)
RA = −RB = −5,833 kN (w dół)

Przekrój tuż na prawo od momentu skupionego

Lewa część zawiera teraz RA i moment skupiony.

Mx = RA·a + M0 = −5,833·2,5 + 35 = 20,42 kN·m

Odpowiedź

Mx = 20,42 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 70,31 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 65·1,5 + 5·4·2
RB = 137,5/4 = 34,38 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 34,38 = 50,63 kN

Gdzie V = 0?

V(1,5⁻) = RA − w·1,5 = 43,13 kN
V(1,5⁺) = 43,13 − 65 = −21,88 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

Mmax = RA·1,5 − w·1,5²/2 = 50,63·1,5 − 5·1,5²/2 = 70,31 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 70,31 kN·m

Występuje w x = 1,5 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 12,5 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·5 → Cy = 50 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 50 = 10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −50/0,9701 = −51,54 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−51,54)·0,2425 = 12,5 kN

Odpowiedź

FAC = 12,5 kN (rozciąganie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 13,06 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB35 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·5 + 20·3 → Cy = 39,17 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 39,17 = −4,167 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −39,17/0,9487 = −41,29 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−41,29)·0,3162 = 13,06 kN

Odpowiedź

FAC = 13,06 kN (rozciąganie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δP = 11,11 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 10000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δP = Pa³/(3EI) = 10000·2000³/(3·2,4 × 10¹²) = 11,11 mm

Odpowiedź

δP = 11,11 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: Ireq = 21,43 × 10⁶ mm⁴

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·4000⁴/(384·70000·11,11) = 2,143 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 21,43 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ireq = 21,43 × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 7,91 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1400² = 7910 N = 7,91 kN

Odpowiedź

Pcr = 7,91 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 12,34 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/7,5 = 400

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Odpowiedź

σcr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis