Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w od ściany do 2,5 m i siłę skupioną P w odległości 3,5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

L = 4 mP = 10 kN w 3,5 mw = 5 kN/m od 0 do 2,5 m

M_A = kN·m

2.Reakcje podpór belekTrudny

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości zero przy ścianie, rosnące do 12 kN/m na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 1,5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

L = 5 mw₀ = 12 kN/mP = 35 kN w 1,5 m

M_A = kN·m

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

35 kN @ 8 m15 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 8 mP = 35 kN w 5 mw = 4 kN/m od 0 do 8 m

M_max = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 30 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 7 m od Aobciążenie pionowe = 10 kNobciążenie poziome = 25 kN →

F_AC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 1,5 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 25 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 65 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 65 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 50,63 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 5·2,5 = 12,5 kN, x̄ = 1,25 m

Moment względem ściany

M_A = P·a + W·x̄ = 10·3,5 + 12,5·1,25 = 50,63 kN·m

Odpowiedź

M_A = 50,63 kN·m

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 152,5 kN·m

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Moment względem ściany

M_A = W·x̄ + P·a = 30·3,333 + 35·1,5 = 152,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = 152,5 kN·m

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 8 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 43,33, M_C = 86,67, M_D = 100, M_E = 113,3 kN·m, M_F = 56,67, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 113,3 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 95,63 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·5 + 4·8·4

R_B = 303/8 = 37,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 37,88 = 29,13 kN

Gdzie V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 9,125 kN

V(5⁺) = 9,125 − 35 = −25,88 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 29,13·5 − 4·5²/2 = 95,63 kN·m

Odpowiedź

M_max = 95,63 kN·m

Występuje w x = 5 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −26,35 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·5 → C_y = 25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 25 = 5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −25/0,9487 = −26,35 kN

Odpowiedź

F_BC = −26,35 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 5,313 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·7 + 25·4 → C_y = 21,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 21,25 = −11,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21,25/0,9701 = −21,9 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−21,9)·0,2425 = 5,313 kN

Odpowiedź

F_AC = 5,313 kN (rozciąganie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 41,93 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 41,93 mm

Odpowiedź

δ_max = 41,93 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 17,42 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 25000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 17,42 mm

Odpowiedź

δ_max = 17,42 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 109,9 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

Odpowiedź

P_cr = 109,9 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 59,55 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 59,55 mm

Odpowiedź

d = 59,55 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 167,9, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis