Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 10 mP₁ = 45 kN w 1 mP₂ = 40 kN w 4 m

R_B = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 3 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 0,5 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 2,5 m do swobodnego końca w 4 m. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 3 mAC = 4 mP = 15 kN w 0,5 mw = 8 kN/m od 2,5 do 4 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 6 mP₁ = 30 kN w 1,5 mP₂ = 35 kN w 3 m

M_max = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

55 kN @ 0 m40 kN @ 12 m15 kN @ 6 m15 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 15 kN ↓D: 40 kN ↓F: 20 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 25 kNobciążenie poziome = 5 kN ←

F_AC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 13 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 9 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 20,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·1 + 40·4

R_B = 205/10 = 20,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 20,5 = 64,5 kN

Odpowiedź

R_B = 20,5 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 11,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 8·1,5 = 12 kN, x̄ = (2,5 + 4)/2 = 3,25 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 15·0,5 + 12·3,25

R_B = 46,5/3 = 15,5 kN

R_A = 27 − 15,5 = 11,5 kN

Odpowiedź

R_A = 11,5 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1,5 + 35·3

R_B = 150/6 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 25 = 40 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·1,5 = 40·1,5 = 60 kN·m

pod P₂: M = R_B·3 = 25·3 = 75 kN·m

Największa wartość

M_max = 75 kN·m (pod P₂)

Odpowiedź

M_max = 75 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 2 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 126,3 kN, R₂ = 103,8 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −110 kN·m, M_C = 2,5, M_D = 55, M_E = 17,5, M_F = −80, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = −110 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 27,19 kN (T), BC: 27,19 kN (T), CD: 29,06 kN (T), DE: 29,06 kN (T), FG: 28,13 kN (C), GH: 28,13 kN (C), AF: 45,31 kN (C), HE: 48,44 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 1,563 kN (T), HC: 1,563 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 21,56 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·5 − 5·2 → C_y = 14,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 14,38 = 10,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14,38/0,5547 = −25,91 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25,91)·0,8321 = 21,56 kN

Odpowiedź

F_AC = 21,56 kN (rozciąganie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 4,377 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 13000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 13000·2000²·1000²/(3·1,32 × 10¹²·3000) = 4,377 mm

Odpowiedź

δ_P = 4,377 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 11,01 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 9000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·3000³/(48·1,61 × 10¹²) = 3,144 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 7,861 mm

Dodaj

δ_max = 3,144 + 7,861 = 11,01 mm

Odpowiedź

δ_max = 11,01 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 467,9 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1500 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1500² = 467892 N = 467,9 kN

Odpowiedź

P_cr = 467,9 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 69,09 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1000 = 500 mm

KL/r = 500/5 = 100

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis