Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P = 80 kNM = 30 kN·mABRB​ = ?1,5 m1 m1,5 m

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 1,5 m od A i moment skupiony M działający zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przyłożony w odległości 2,5 m od A. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 4 mP = 80 kN w 1,5 mM = 30 kN·m (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) w 2,5 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 6 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m1 m2 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 6 mP = 50 kN w 4 mw = 6 kN/m od 2 do 3 m
RB = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
P1​ = 35 kNP2​ = 55 kNAB3,5 m1 m1,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 6 mP1 = 35 kN w 3,5 mP2 = 55 kN w 4,5 m
Mmax = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 4 kN/mP = 30 kNAB4,5 m1,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 6 mP = 30 kN w 4,5 mw = 4 kN/m od 0 do 6 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB25 kN8 m2 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN
FBC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB10 kN25 kN6 m1 m3 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 10 kNobciążenie poziome = 25 kN →
FAC = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 20 kN/mδL = 2,5 m

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 10 kN/mP = 15 kNδL = 5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.

P = 15 kNw = 10 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 2 md = 25 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 4 md = 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 37,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·4 − 80·1,5 − 30 = 0
RB = 150/4 = 37,5 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 80 − 37,5 = 42,5 kN

Odpowiedź

RB = 37,5 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 35,83 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 6 kN/mP = 50 kNABRA​RB​2 m1 m1 m2 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·4 + 6·1·2,5
RB = 215/6 = 35,83 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 35,83 = 20,17 kN

Odpowiedź

RB = 35,83 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 99,17 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·3,5 + 55·4,5
RB = 370/6 = 61,67 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 61,67 = 28,33 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P1: M = RA·3,5 = 28,33·3,5 = 99,17 kN·m
pod P2: M = RB·1,5 = 61,67·1,5 = 92,5 kN·m

Największa wartość

Mmax = 99,17 kN·m (pod P1)

Odpowiedź

Mmax = 99,17 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 47,25 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·4,5 + 4·6·3
RB = 207/6 = 34,5 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 34,5 = 19,5 kN

Gdzie V = 0?

V(4,5⁻) = RA − w·4,5 = 1,5 kN
V(4,5⁺) = 1,5 − 30 = −28,5 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

Mmax = RA·4,5 − w·4,5²/2 = 19,5·4,5 − 4·4,5²/2 = 47,25 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 47,25 kN·m

Występuje w x = 4,5 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FBC = −19,76 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·2 → Cy = 6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6,25 = 18,75 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6,25/0,3162 = −19,76 kN

Odpowiedź

FBC = −19,76 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 23,61 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB10 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·1 + 25·3 → Cy = 14,17 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 14,17 = −4,167 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −14,17/0,5145 = −27,54 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−27,54)·0,8575 = 23,61 kN

Odpowiedź

FAC = 23,61 kN (rozciąganie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 8,719 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2500⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 8,719 mm

Odpowiedź

δ = 8,719 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 68,43 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 15000 N, w = 10 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(48EI) = 15000·5000³/(48·1,76 × 10¹²) = 22,19 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 46,24 mm

Dodaj

δmax = 22,19 + 46,24 = 68,43 mm

Odpowiedź

δmax = 68,43 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 13,25 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

Odpowiedź

Pcr = 13,25 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 35,25 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/20 = 140

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Odpowiedź

σcr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis