Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP₁ = 60 kN w 2 mP₂ = 25 kN w 4,5 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 10 mP = 25 kN w 7 mw = 10 kN/m od 3 do 6 m

R_B = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 2,5 m od A. Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 2,5 mP = 30 kN w 2,5 mw = 10 kN/m od 0 do 2,5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 8 mP = 55 kN w 3 mw = 6 kN/m od 0 do 8 m

M_max = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 10 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 7 m od Aobciążenie pionowe = 20 kNobciążenie poziome = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 19 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 46,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·2 + 25·4,5

R_B = 232,5/6 = 38,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 38,75 = 46,25 kN

Odpowiedź

R_A = 46,25 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 31 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·7 + 10·3·4,5

R_B = 310/10 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 31 = 24 kN

Odpowiedź

R_B = 31 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −80 kN·m

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −30·2 = −60 kN·m

w: −10·2²/2 = −20 kN·m

M_x = −60 − 20 = −80 kN·m

Odpowiedź

M_x = −80 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 148,1 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·3 + 6·8·4

R_B = 357/8 = 44,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 44,63 = 58,38 kN

Gdzie V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 40,38 kN

V(3⁺) = 40,38 − 55 = −14,63 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 58,38·3 − 6·3²/2 = 148,1 kN·m

Odpowiedź

M_max = 148,1 kN·m

Występuje w x = 3 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 2 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·1 → C_y = 2 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2 = 8 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2/0,7071 = −2,828 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−2,828)·0,7071 = 2 kN

Odpowiedź

F_AC = 2 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −11,11 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·7 − 5·3 → C_y = 15,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15,63 = 4,375 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 3/7,616 = 0,3939

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −4,375/0,3939 = −11,11 kN

Odpowiedź

F_AB = −11,11 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 6,392 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 6,392 mm

Odpowiedź

δ = 6,392 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,42 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 19000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 19000·2000³/(48·3,99 × 10¹²) = 0,7937 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 0,6266 mm

Dodaj

δ_max = 0,7937 + 0,6266 = 1,42 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,42 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 62,01 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·1000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Odpowiedź

P_cr = 62,01 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 2,763 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 2,763 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis