Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 50 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?4 m1 m3 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 8 mP1 = 50 kN w 4 mP2 = 60 kN w 5 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​1 m2,5 m0,5 m1 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.

L = 5 mP = 50 kN w 3,5 mw = 3 kN/m od 1 do 4 m
RA = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
50 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

50 kN @ 2 m25 kN @ 5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 2 kN/mP = 30 kNAB2,5 m2,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 5 mP = 30 kN w 2,5 mw = 2 kN/m od 0 do 5 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB15 kN6 m4 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 15 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB15 kN10 kN4 m1 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 15 kNobciążenie poziome = 10 kN →
FAC = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 15 kN/mδL = 1,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 6 kN/mP = 26 kNδL = 8 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.

P = 26 kNw = 6 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 4 md = 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
P = 75 kNL = 4 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 75 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 75 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (stal)
d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 62,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

P1​ = 50 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​4 m1 m3 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·4 + 60·5
RB = 500/8 = 62,5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 62,5 = 47,5 kN

Odpowiedź

RB = 62,5 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 19,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1 m2,5 m0,5 m1 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·3 = 9 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·3,5 + 3·3·2,5
RB = 197,5/5 = 39,5 kN
ΣFy = 0: RA = 59 − 39,5 = 19,5 kN

Odpowiedź

RA = 19,5 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: C (x = 2 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R1 = 37,5 kN, R2 = 37,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

MA = 0, MB = 37,5, MC = 75 kN·m, MD = 62,5, ME = 50, MF = 37,5, MG = 0

Odpowiedź

Punkt C: MC = 75 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 43,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·2,5 + 2·5·2,5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN

Gdzie V = 0?

V(2,5⁻) = RA − w·2,5 = 15 kN
V(2,5⁺) = 15 − 30 = −15 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

Mmax = RA·2,5 − w·2,5²/2 = 20·2,5 − 2·2,5²/2 = 43,75 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 43,75 kN·m

Występuje w x = 2,5 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 10 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·4 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 10 = 5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0,7071 = −14,14 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14,14)·0,7071 = 10 kN

Odpowiedź

FAC = 10 kN (rozciąganie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 13,13 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB15 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·1 + 10·2 → Cy = 8,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 8,75 = 6,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8,75/0,5547 = −15,77 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−15,77)·0,8321 = 13,13 kN

Odpowiedź

FAC = 13,13 kN (rozciąganie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 1,577 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 1,577 mm

Odpowiedź

δmax = 1,577 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 71,11 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 26000 N, w = 6 N/mm, L = 8000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(48EI) = 26000·8000³/(48·8,4 × 10¹²) = 33,02 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 38,1 mm

Dodaj

δmax = 33,02 + 38,1 = 71,11 mm

Odpowiedź

δmax = 71,11 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 15,5 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·4000 = 4000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15,5 kN

Odpowiedź

Pcr = 15,5 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 62,41 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 2,5·75000 = 187500 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 62,41 mm

Odpowiedź

d = 62,41 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 179,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis