Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 60 kNP2​ = 15 kNABRA​ = ?RB​1,5 m1 m3,5 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.

L = 6 mP1 = 60 kN w 1,5 mP2 = 15 kN w 2,5 m
RA = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?4 m2 m2 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 8 mP = 30 kN w 6 mw = 5 kN/m od 4 do 8 m
RB = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
M0​ = 60 kN·mAB4 m2 m

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 60 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 4 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mM0 = 60 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 4 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 6 kN/mP = 30 kNABprzekrój1,5 m0,5 m3 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 30 kN w 1,5 mw = 6 kN/m od 0 do 5 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB40 kN8 m1 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 40 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH30 kN10 kN20 kN15 kN30 kN4 × 4 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 30 kN ↓F: 10 kN ↓G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 15 kN/mδL = 5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 12 kN/mδL = 2 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności Ireq, który spełnia ten warunek.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 6 m30 × 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 4 md = 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)d = 80 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 53,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

P1​ = 60 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1,5 m1 m3,5 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·1,5 + 15·2,5
RB = 127,5/6 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 21,25 = 53,75 kN

Odpowiedź

RA = 53,75 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 37,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​RB​4 m2 m2 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·6 + 5·4·6
RB = 300/8 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Odpowiedź

RB = 37,5 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = −40 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 60/6 = 10 kN (w górę)
RA = −RB = −10 kN (w dół)

Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego

Lewa część zawiera tylko RA.

Mx = RA·a = −10·4 = −40 kN·m

Odpowiedź

Mx = −40 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 45 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·1,5 + 6·5·2,5
RB = 120/5 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 24 = 36 kN
w = 6 kN/mP = 30 kNABRA​ = 36RB​ = 24przekrój1,5 m0,5 m3 m

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 36·2 − 30·(2 − 1,5) − 6·2·1 = 45 kN·m

Odpowiedź

Mx = 45 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 17,5 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·8 = 40·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 5 = 35 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0,2747 = −18,2 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−18,2)·0,9615 = 17,5 kN

Odpowiedź

FAC = 17,5 kN (rozciąganie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 6,25 kN (T), BC: 32,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 36,25 kN (C), GH: 68,75 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 26,25 kN (T), CG: 0, DH: 23,75 kN (T), BG: 37,12 kN (C), DG: 8,839 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 20,76 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 20,76 mm

Odpowiedź

δmax = 20,76 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: Ireq = 6,429 × 10⁶ mm⁴

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2000⁴/(384·70000·5,556) = 6,429 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 6,429 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ireq = 6,429 × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 4,935 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·6000 = 6000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/6000² = 4935 N = 4,935 kN

Odpowiedź

Pcr = 4,935 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 12,34 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/20 = 400

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Odpowiedź

σcr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis