Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP₁ = 35 kN w 3,5 mP₂ = 15 kN w 4,5 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości zero przy ścianie, rosnące do 8 kN/m na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 3 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

L = 4 mw₀ = 8 kN/mP = 60 kN w 3 m

M_A = kN·m

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 8 mP₁ = 55 kN w 1 mP₂ = 15 kN w 7 m

M_max = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

60 kN @ 12 m25 kN @ 6 m8 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

F: 30 kN ↓G: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 40 kN ↓G: 10 kN ↓H: 25 kN ←

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 26 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 130 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 130 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 18,33 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3,5 + 15·4,5

R_B = 190/6 = 31,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 31,67 = 18,33 kN

Odpowiedź

R_A = 18,33 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 222,7 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·8·4 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Moment względem ściany

M_A = W·x̄ + P·a = 16·2,667 + 60·3 = 222,7 kN·m

Odpowiedź

M_A = 222,7 kN·m

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 50 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 15·7

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 20 = 50 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·1 = 50·1 = 50 kN·m

pod P₂: M = R_B·1 = 20·1 = 20 kN·m

Największa wartość

M_max = 50 kN·m (pod P₁)

Odpowiedź

M_max = 50 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: F (x = 10 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 38 kN, R₂ = 127 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 60, M_C = 88, M_D = 84, M_E = −2, M_F = −120 kN·m, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt F: M_F = −120 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 42,5 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 60,1 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 12,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 17,68 kN (C), DG: 38,89 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 3,75 kN (C), BC: 3,75 kN (C), CD: 28,75 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 42,5 kN (C), AF: 30,05 kN (C), HE: 40,66 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 30,05 kN (T), HC: 15,91 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 17,23 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 26000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·1000²·4000²/(3·1,61 × 10¹²·5000) = 17,23 mm

Odpowiedź

δ_P = 17,23 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 72 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·8000⁴/(384·200000·22,22) = 7,2 × 10⁷ mm⁴

I_req = 72 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 72 × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 35,09 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1500² = 35092 N = 35,09 kN

Odpowiedź

P_cr = 35,09 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 50,08 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 50,08 mm

Odpowiedź

d = 50,08 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 99,84, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis