Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 15 kN w 1 mP₂ = 30 kN w 8 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (4 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (8 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 5 m od A i siłę skupioną Q w odległości 3 m od A. Wyznacz reakcję R_D na podporze przesuwnej.

AC = 4 mAD = 8 mP = 25 kN w 5 mQ = 50 kN w 3 m

R_D = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 20 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 9 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na prawo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mM₀ = 20 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 9 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 50 kN w 6 mw = 3 kN/m od 0 do 10 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 2 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 30 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 30 kNobciążenie poziome = 30 kN →

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję R_B na podporze przesuwnej.

L = 4 mP = 20 kN w 2 m

R_B = kN

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = −6 kN

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1 + 30·8

R_B = 255/5 = 51 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 15 + 30 − 51 = −6 kN

Odpowiedź

R_A = −6 kN

R_A jest ujemne: podpora w A musi przytrzymywać belkę.

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_D = 6,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 25·1

R_D = 6,25 kN

V_C = 25 − 6,25 = 18,75 kN

Odpowiedź

R_D = 6,25 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 2 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/10 = 2 kN (w górę)

R_A = −R_B = −2 kN (w dół)

Przekrój tuż na prawo od momentu skupionego

Lewa część zawiera teraz R_A i moment skupiony.

M_x = R_A·a + M₀ = −2·9 + 20 = 2 kN·m

Odpowiedź

M_x = 2 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 49,13 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·6 + 3·10·5

R_B = 450/10 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 45 = 35 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 35·1,5 − 3·1,5·0,75 = 49,13 kN·m

Odpowiedź

M_x = 49,13 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −26,83 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·4 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 24 = 6 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0,8944 = −26,83 kN

Odpowiedź

F_BC = −26,83 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −40,56 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 + 30·2 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22,5 = 7,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22,5/0,5547 = −40,56 kN

Odpowiedź

F_BC = −40,56 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 63,49 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·8000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 63,49 mm

Odpowiedź

δ_max = 63,49 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: R_B = 6,25 kN

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Odpowiedź

R_B = 6,25 kN

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 24,22 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1250² = 24224 N = 24,22 kN

Odpowiedź

P_cr = 24,22 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 62,66 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 62,66 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis