Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 50 kNP2​ = 45 kNABCRB​ = ?3 m5 m2 m

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 8 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 8 mAC = 10 mP1 = 50 kN w 3 mP2 = 45 kN w 10 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w0​ = 15 kN/mP = 60 kNABMA​ = ?4 m4 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości zero przy ścianie, rosnące do 15 kN/m na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 4 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.

L = 8 mw0 = 15 kN/mP = 60 kN w 4 m
MA = kN·m
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 5 kN/mABprzekrój0,5 m9,5 m

Wyznacz siłę tnącą Vx w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 5 kN/m od 0 do 10 mx = 0,5 m
Vx = kN
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 2 kN/mP = 70 kNAB3,5 m2,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 6 mP = 70 kN w 3,5 mw = 2 kN/m od 0 do 6 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH15 kN40 kN15 kN4 × 3 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 15 kN ↓F: 40 kN ↓G: 15 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH30 kN30 kN30 kN20 kN30 kN20 kN4 × 3 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 30 kN ↓D: 30 kN ↓F: 30 kN ↓G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 15 kN/mP = 3 kNABδ3 m

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 3 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (stal)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
P = 26 kNP = 26 kNABδ2,667 m2,666 m2,667 m

Belka swobodnie podparta przenosi dwie równe siły skupione P w punktach podziału na trzy części (L/3 od każdej podpory). Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku rozpiętości δmax.

P = 26 kNL = 8 mE = 200 GPa (stal)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 1,5 md = 30 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
P = 50 kNL = 4 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 50 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 50 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·3 + 45·10
RB = 600/8 = 75 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 50 + 45 − 75 = 20 kN

Odpowiedź

RB = 75 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: MA = 560 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·15·8 = 60 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Moment względem ściany

MA = W·x̄ + P·a = 60·5,333 + 60·4 = 560 kN·m

Odpowiedź

MA = 560 kN·m
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Vx = 22,5 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25przekrój0,5 m9,5 m

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = RA − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)
Vx = 25 − 5·0,5 = 22,5 kN

Odpowiedź

Vx = 22,5 kN
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 110,8 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 70·3,5 + 2·6·3
RB = 281/6 = 46,83 kN
ΣFy = 0: RA = 82 − 46,83 = 35,17 kN

Gdzie V = 0?

V(3,5⁻) = RA − w·3,5 = 28,17 kN
V(3,5⁺) = 28,17 − 70 = −41,83 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

Mmax = RA·3,5 − w·3,5²/2 = 35,17·3,5 − 2·3,5²/2 = 110,8 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 110,8 kN·m

Występuje w x = 3,5 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 41,25 kN (T), BC: 41,25 kN (T), CD: 28,75 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 42,5 kN (C), AF: 58,34 kN (C), HE: 40,66 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 1,768 kN (T), HC: 19,45 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 31,87 kN (T), BC: 31,87 kN (T), CD: 53,12 kN (T), DE: 53,12 kN (T), FG: 81,25 kN (C), GH: 81,25 kN (C), AF: 86,46 kN (C), HE: 88,54 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 48,96 kN (T), HC: 13,54 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 24,84 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 3000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(3EI) = 3000·3000³/(3·7,2 × 10¹²) = 3,75 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 21,09 mm

Dodaj

δ = 3,75 + 21,09 = 24,84 mm

Odpowiedź

δ = 24,84 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 19,69 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 26000 N, L = 8000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Jedna siła w L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm
δ₁ = 9,844 mm

Zsumuj obie siły

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 19,69 mm

Odpowiedź

δmax = 19,69 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 71,19 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1050² = 71188 N = 71,19 kN

Odpowiedź

Pcr = 71,19 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 73,32 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 73,32 mm

Odpowiedź

d = 73,32 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 152,8, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis