Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
w0​ = 20 kN/mP = 80 kNABRB​ = ?2 m6 m

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 20 kN/m w A do zera w B. W odległości 2 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 8 mw0 = 20 kN/mP = 80 kN w 2 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 4 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.

L = 4 mP = 50 kN w 1 mw = 4 kN/m od 1 do 2 m
RA = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 5 kN/mABprzekrój0,5 m3,5 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 5 kN/m od 0 do 4 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 12 kN/mAB9 m1 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 10 mw = 12 kN/m od 0 do 9 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH40 kN40 kN30 kN4 × 4 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 40 kN ↓C: 40 kN ↓G: 30 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH10 kN35 kN40 kN15 kN30 kN4 × 3 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓F: 35 kN ↓G: 40 kN ↓H: 15 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 21 kNABδ1 m4 m

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od A. Wyznacz ugięcie δP pod siłą.

P = 21 kNa = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 5 kN/mP = 16 kNδL = 2,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.

P = 16 kNw = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 3 m20 × 100 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 1 md = 25 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 46,67 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·20·8 = 80 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·8 = 80·2,667 + 80·2
RB = 46,67 kN
RA = 160 − 46,67 = 113,3 kN

Odpowiedź

RB = 46,67 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 40 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 4 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, przyłożona w x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1 + 4·1·1,5
RB = 56/4 = 14 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 14 = 40 kN

Odpowiedź

RA = 40 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 4,375 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·4·2
RB = 40/4 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10przekrój0,5 m3,5 m

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 10·0,5 − 5·0,5·0,25 = 4,375 kN·m

Odpowiedź

Mx = 4,375 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 147 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·9 = 108 kN, przyłożona w x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·9·4,5
RB = 486/10 = 48,6 kN
ΣFy = 0: RA = 108 − 48,6 = 59,4 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od RA, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 59,4/12 = 4,95 m

Moment maksymalny

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 59,4·4,95 − 12·4,95²/2 = 147 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 147 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 86,67 kN (T), BC: 86,67 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 120 kN (C), GH: 120 kN (C), AF: 108,3 kN (C), HE: 75 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 41,67 kN (T), HC: 75 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 35 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 91,92 kN (C), HE: 49,5 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 28,28 kN (T), HC: 28,28 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δP = 1,522 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 21000 N, a = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δP = Pa³/(3EI) = 21000·1000³/(3·4,6 × 10¹²) = 1,522 mm

Odpowiedź

δP = 1,522 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 30,64 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 16000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(48EI) = 16000·2500³/(48·2,53 × 10¹¹) = 20,59 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 10,05 mm

Dodaj

δmax = 20,59 + 10,05 = 30,64 mm

Odpowiedź

δmax = 30,64 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 5,118 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·3000 = 3000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/3000² = 5118 N = 5,118 kN

Odpowiedź

Pcr = 5,118 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 19,28 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/6,25 = 320

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Odpowiedź

σcr = 19,28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis