Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 35 kNP2​ = 10 kNABRA​ = ?RB​2,5 m2,5 m1 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.

L = 6 mP1 = 35 kN w 2,5 mP2 = 10 kN w 5 m
RA = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 5 kN/mP = 60 kNQ = 55 kNADCRD​ = ?1 m3 m1 m5 m

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (4 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (10 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 5 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD i siłę skupioną Q w odległości 1 m od A. Wyznacz reakcję RD na podporze przesuwnej.

AC = 4 mAD = 10 mP = 60 kN w 5 mw = 5 kN/m od 4 do 10 mQ = 55 kN w 1 m
RD = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
M0​ = 35 kN·mAB2 m3 m

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 35 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 2 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mM0 = 35 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 2 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 3 kN/mP = 30 kNAB6 m4 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 10 mP = 30 kN w 6 mw = 3 kN/m od 0 do 10 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH20 kN25 kN40 kN4 × 4 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 20 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB45 kN20 kN8 m6 m3 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 6 m od Aobciążenie pionowe = 45 kNobciążenie poziome = 20 kN ←
FAB = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 5 kNABδ2 m3 m

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δP pod siłą.

P = 5 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 3 kN/mABδ4 m

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 100 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszą wysokość hreq przekroju.

w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 100 mm
hreq = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 1 m30 × 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
P = 25 kNL = 4 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 25 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 25 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 22,08 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

P1​ = 35 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​2,5 m2,5 m1 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·2,5 + 10·5
RB = 137,5/6 = 22,92 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 22,92 = 22,08 kN

Odpowiedź

RA = 22,08 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RD = 25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

W = 5·6 = 30 kN w 3 m od C
ΣMC = 0: RD·6 = 60·1 + 30·3
RD = 25 kN
VC = 90 − 25 = 65 kN

Odpowiedź

RD = 25 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = −14 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 35/5 = 7 kN (w górę)
RA = −RB = −7 kN (w dół)

Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego

Lewa część zawiera tylko RA.

Mx = RA·a = −7·2 = −14 kN·m

Odpowiedź

Mx = −14 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 108 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·6 + 3·10·5
RB = 330/10 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 33 = 27 kN

Gdzie V = 0?

V(6⁻) = RA − w·6 = 9 kN
V(6⁺) = 9 − 30 = −21 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

Mmax = RA·6 − w·6²/2 = 27·6 − 3·6²/2 = 108 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 108 kN·m

Występuje w x = 6 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 50 kN (T), BC: 73,33 kN (T), CD: 73,33 kN (T), DE: 63,33 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 63,33 kN (C), AF: 62,5 kN (C), HE: 79,17 kN (C), BF: 37,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 29,17 kN (C), DG: 12,5 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAB = −41,93 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB45 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·6 − 20·3 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 26,25 = 18,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 3/6,708 = 0,4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,75/0,4472 = −41,93 kN

Odpowiedź

FAB = −41,93 kN (ściskanie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δP = 1,667 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 5000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·2000²·3000²/(3·7,2 × 10¹²·5000) = 1,667 mm

Odpowiedź

δP = 1,667 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: hreq = 214,1 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Wymagany moment bezwładności

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·11,11) = 8,182 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = Ireq → h = (12·8,182 × 10⁷/100)1/3 = 214,1 mm

Odpowiedź

hreq = 214,1 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 355,3 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1000 = 1000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1000² = 355306 N = 355,3 kN

Odpowiedź

Pcr = 355,3 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 98,56 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 98,56 mm

Odpowiedź

d = 98,56 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 324,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis