Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 40 kNP2​ = 20 kNABCRA​ = ?1 m3,5 m1,5 m

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 4,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RA, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 4,5 mAC = 6 mP1 = 40 kN w 1 mP2 = 20 kN w 6 m
RA = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 12 kN/mP = 60 kNABRA​RB​ = ?1,5 m3,5 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 5 mP = 60 kN w 1,5 mw = 12 kN/m od 0 do 5 m
RB = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 8 kN/mP = 45 kNABprzekrój2 m1,5 m0,5 m

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 3,5 m od A. Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 2 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 45 kN w 3,5 mw = 8 kN/m od 0 do 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 5 kN/mABC8 m2,5 m

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz odległość xc od A do miejsca zerowego momentu między podporami (w którym moment zginający zmienia znak).

L = 10,5 mw = 5 kN/m od 0 do 10,5 mpodpory w x = 0 i x = 8 m
xc = m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB50 kN5 m3 m3 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 3 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 50 kN
FAB = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH40 kN30 kN30 kN10 kN40 kN25 kN4 × 4 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 40 kN ↓D: 30 kN ↓F: 30 kN ↓G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 5 kN/mABθ5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θA belki na podporze A, w radianach.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 15 kN/mAB3 m

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję RB na podporze przesuwnej.

L = 3 mw = 15 kN/m
RB = kN
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 4 m50 × 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
P = 60 kNL = 2,5 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 60 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 60 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)
d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 24,44 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 40·1 + 20·6
RB = 160/4,5 = 35,56 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 40 + 20 − 35,56 = 24,44 kN

Odpowiedź

RA = 24,44 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 48 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 12 kN/mP = 60 kNABRA​RB​1,5 m3,5 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·1,5 + 12·5·2,5
RB = 240/5 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 48 = 72 kN

Odpowiedź

RB = 48 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = −83,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −45·1,5 = −67,5 kN·m
w: −8·2²/2 = −16 kN·m
Mx = −67,5 − 16 = −83,5 kN·m

Odpowiedź

Mx = −83,5 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: xc = 7,219 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·10,5 = 52,5 kN, przyłożona w x̄ = 5,25 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·10,5·5,25
RB = 275,6/8 = 34,45 kN
ΣFy = 0: RA = 52,5 − 34,45 = 18,05 kN

Zerowy moment

Między podporami M(x) = RA·x − w·x²/2. Poza x = 0 jest równy zeru w x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·18,05/5 = 7,219 m

Odpowiedź

xc = 7,219 m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAB = −28,28 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 30 = 20 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0,7071 = −28,28 kN

Odpowiedź

FAB = −28,28 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 46,25 kN (T), BC: 46,25 kN (T), CD: 78,75 kN (T), DE: 78,75 kN (T), FG: 112,5 kN (C), GH: 112,5 kN (C), AF: 100,8 kN (C), HE: 111,4 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 58,34 kN (T), HC: 12,37 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: θA = 0,002284 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Kąt obrotu końca

θA = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·1,14 × 10¹³) = 0,002284 rad

Odpowiedź

θA = 0,002284 rad

To 0,1309°.

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: RB = 16,88 kN

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). W belce statycznie niewyznaczalnej usuń podporę nadliczbową i zażądaj, aby ugięcie w tym miejscu było równe zeru (warunek zgodności).

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δload = wL⁴/(8EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory RB podnosi swobodny koniec o RBL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·3/8 = 16,88 kN

Odpowiedź

RB = 16,88 kN
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 411,2 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2000² = 411234 N = 411,2 kN

Odpowiedź

Pcr = 411,2 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 55,77 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 55,77 mm

Odpowiedź

d = 55,77 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 179,3, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis