Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
w0​ = 12 kN/mP = 15 kNABRB​ = ?7 m3 m

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 12 kN/m w A do zera w B. W odległości 7 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 10 mw0 = 12 kN/mP = 15 kN w 7 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 12 kN/mP = 55 kNABCRB​ = ?5 m3 m2 m

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 8 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 5 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 5 m do swobodnego końca w 10 m. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 8 mAC = 10 mP = 55 kN w 5 mw = 12 kN/m od 5 do 10 m
RB = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 5 kN/mABprzekrój5 m1 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 5 kN/m od 0 do 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
8 kN/m35 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

35 kN @ 0 m30 kN @ 6 m8 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB25 kN6 m4 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH40 kN10 kN40 kN15 kN4 × 3 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 40 kN ↓F: 10 kN ↓F: 40 kN →H: 15 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 12 kNABδ2 m1 m

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δP pod siłą.

P = 12 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 2,5 kN/mABδ3,5 m

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 100 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/300. Wyznacz najmniejszą wysokość hreq przekroju.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 100 mm
hreq = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 1 m25 × 100 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 5 md = 60 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 60 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 30,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·12·10 = 60 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·10 = 60·3,333 + 15·7
RB = 30,5 kN
RA = 75 − 30,5 = 44,5 kN

Odpowiedź

RB = 30,5 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 90,63 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 12·5 = 60 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7,5 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·8 = 55·5 + 60·7,5
RB = 725/8 = 90,63 kN
RA = 115 − 90,63 = 24,38 kN

Odpowiedź

RB = 90,63 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 12,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15przekrój5 m1 m

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 15·5 − 5·5·2,5 = 12,5 kN·m

Odpowiedź

Mx = 12,5 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 1 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R1 = 52,25 kN, R2 = 44,75 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

MA = 0, MB = −35 kN·m, MC = −21,75, MD = −16,5, ME = −19,25, MF = −30, MG = 0

Odpowiedź

Punkt B: MB = −35 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 16,67 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·4 → Cy = 16,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 16,67 = 8,333 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16,67/0,7071 = −23,57 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−23,57)·0,7071 = 16,67 kN

Odpowiedź

FAC = 16,67 kN (rozciąganie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 71,25 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 33,75 kN (T), FG: 71,25 kN (C), GH: 33,75 kN (C), AF: 44,19 kN (C), HE: 47,73 kN (C), BF: 21,25 kN (T), CG: 0, DH: 18,75 kN (T), BG: 26,52 kN (T), DG: 26,52 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δP = 1,337 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 12000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δP = Pa²b²/(3EIL) = 12000·2000²·1000²/(3·3,99 × 10¹²·3000) = 1,337 mm

Odpowiedź

δP = 1,337 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: hreq = 165,9 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δallow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Wymagany moment bezwładności

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·11,67) = 3,806 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = Ireq → h = (12·3,806 × 10⁷/100)1/3 = 165,9 mm

Odpowiedź

hreq = 165,9 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 257 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1000 = 1000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1000² = 257021 N = 257 kN

Odpowiedź

Pcr = 257 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 4,441 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/15 = 666,7

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Odpowiedź

σcr = 4,441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis