Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
w0​ = 10 kN/mABRB​ = ?5 m

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 10 kN/m w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 5 mw0 = 10 kN/m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 6 kN/mP = 55 kNABCRA​ = ?2 m1 m1 m

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 3 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 2 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 2 m do swobodnego końca w 4 m. Wyznacz reakcję pionową RA, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 3 mAC = 4 mP = 55 kN w 2 mw = 6 kN/m od 2 do 4 m
RA = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 2 kN/mABprzekrój3,5 m0,5 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 2 kN/m od 0 do 4 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 10 kN/mAB8 m2 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz odległość x0 od A do przekroju, w którym moment zginający jest największy.

L = 10 mw = 10 kN/m od 0 do 8 m
x0 = m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH25 kN4 × 4 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 25 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB45 kN30 kN5 m1 m4 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 45 kNobciążenie poziome = 30 kN ←
FAC = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 10 kN/mδL = 5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 12 kN/mδL = 5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności Ireq, który spełnia ten warunek.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 6 md = 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
P = 60 kNL = 1,5 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 60 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 60 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)
d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 16,67 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·10·5 = 25 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·5 = 25·3,333
RB = 16,67 kN
RA = 25 − 16,67 = 8,333 kN

Odpowiedź

RB = 16,67 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 18,33 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 6·2 = 12 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·3 = 55·2 + 12·3
RB = 146/3 = 48,67 kN
RA = 67 − 48,67 = 18,33 kN

Odpowiedź

RA = 18,33 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 1,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, przyłożona w x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·4·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 4RB​ = 4przekrój3,5 m0,5 m

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 4·3,5 − 2·3,5·1,75 = 1,75 kN·m

Odpowiedź

Mx = 1,75 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x0 = 4,8 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·8·4
RB = 320/10 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 32 = 48 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od RA, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 48/10 = 4,8 m

Odpowiedź

x0 = 4,8 m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 8,333 kN (T), BC: 16,67 kN (T), CD: 16,67 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 8,333 kN (C), GH: 25 kN (C), AF: 10,42 kN (C), HE: 31,25 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 18,75 kN (T), BG: 10,42 kN (C), DG: 10,42 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = −15 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB45 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·1 − 30·4 → Cy = −15 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − −15 = 60 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−15/0,7071 = 21,21 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(21,21)·0,7071 = −15 kN

Odpowiedź

FAC = −15 kN (ściskanie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 7,266 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 7,266 mm

Odpowiedź

δmax = 7,266 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: Ireq = 100,4 × 10⁶ mm⁴

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·5000⁴/(384·70000·13,89) = 1,004 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 100,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ireq = 100,4 × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 4,922 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4200² = 4922 N = 4,922 kN

Odpowiedź

Pcr = 4,922 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 57,78 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 2·60000 = 120000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 57,78 mm

Odpowiedź

d = 57,78 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 207,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis