Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 20 kN/m w A do zera w B. W odległości 6 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 10 mw₀ = 20 kN/mP = 35 kN w 6 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (2 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (6 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 5,5 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD i siłę skupioną Q w odległości 0,5 m od A. Wyznacz reakcję R_D na podporze przesuwnej.

AC = 2 mAD = 6 mP = 45 kN w 5,5 mw = 10 kN/m od 2 do 6 mQ = 75 kN w 0,5 m

R_D = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 8 kN/m od 0 do 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 6 mP = 40 kN w 4 mw = 10 kN/m od 0 do 6 m

M_max = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 60 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 3 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 25 kNobciążenie poziome = 5 kN →

F_AC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 12 kNa = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz wartość momentu zginającego M_A w utwierdzeniu.

L = 3 mP = 20 kN w 1,5 m

M_A = kN·m

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 80,67 kN

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·20·10 = 100 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 100·3,333 + 35·6

R_B = 54,33 kN

R_A = 135 − 54,33 = 80,67 kN

Odpowiedź

R_A = 80,67 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_D = 59,38 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

W = 10·4 = 40 kN w 2 m od C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 45·3,5 + 40·2

R_D = 59,38 kN

V_C = 85 − 59,38 = 25,63 kN

Odpowiedź

R_D = 59,38 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 12 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 16·3 − 8·3·1,5 = 12 kN·m

Odpowiedź

M_x = 12 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 93,33 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·4 + 10·6·3

R_B = 340/6 = 56,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 56,67 = 43,33 kN

Gdzie V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 3,333 kN

V(4⁺) = 3,333 − 40 = −36,67 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 43,33·4 − 10·4²/2 = 93,33 kN·m

Odpowiedź

M_max = 93,33 kN·m

Występuje w x = 4 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 22,5 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,5547 = −27,04 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−27,04)·0,8321 = 22,5 kN

Odpowiedź

F_AC = 22,5 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 13 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·2 + 5·3 → C_y = 13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 13 = 12 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13/0,7071 = −18,38 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−18,38)·0,7071 = 13 kN

Odpowiedź

F_AC = 13 kN (rozciąganie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 5,333 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 12000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 12000·1000²·4000²/(3·2,4 × 10¹²·5000) = 5,333 mm

Odpowiedź

δ_P = 5,333 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: M_A = 11,25 kN·m

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Moment w utwierdzeniu

Momenty obciążeń i reakcji podpory względem A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 30 − 18,75 = 11,25 kN·m

Odpowiedź

M_A = 11,25 kN·m

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 12,69 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/3500² = 12689 N = 12,69 kN

Odpowiedź

P_cr = 12,69 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 2,999 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2,999 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 2,999 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis