Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
w = 3 kN/mP = 55 kNABMA​ = ?3 m5 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P w odległości 3 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.

L = 8 mP = 55 kN w 3 mw = 3 kN/m od 0 do 8 m
MA = kN·m
2.Reakcje podpór belekTrudny
P = 75 kN, 50°Q = 10 kNABRA​ = ?5 m2 m1 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 7 m od A działa siła P nachylona pod kątem 50° do poziomu, a w odległości 5 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji RA w podporze nieprzesuwnej A.

L = 8 mP = 75 kN w 7 m, θ = 50°Q = 10 kN w 5 m
RA = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
25 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 2 m25 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 10 kN/mP = 80 kNAB1,5 m4,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 6 mP = 80 kN w 1,5 mw = 10 kN/m od 0 do 6 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB60 kN8 m5 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 60 kN
FAB = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH15 kN35 kN15 kN35 kN30 kN20 kN4 × 4 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 15 kN ↓C: 35 kN ↓F: 15 kN ↓F: 35 kN →G: 30 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 4 kN/mP = 24 kNABδ1,5 m

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 24 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (stal)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 8 kN/mP = 30 kNδL = 2 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.

P = 30 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 2 md = 30 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 5 md = 30 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: MA = 261 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 3·8 = 24 kN, x̄ = 4 m

Moment względem ściany

MA = P·a + W·x̄ = 55·3 + 24·4 = 261 kN·m

Odpowiedź

MA = 261 kN·m
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 49,43 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

Pv = 75·sin 50° = 57,45 kN
Ph = 75·cos 50° = 48,21 kN

Reakcje

ΣMA = 0: RB·8 = 57,45·7 + 10·5 → RB = 56,52 kN
Ay = 57,45 + 10 − 56,52 = 10,93 kN
Ax = Ph = 48,21 kN

Wypadkowa w A

RA = √(48,21² + 10,93²) = 49,43 kN

Odpowiedź

RA = 49,43 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 8 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R1 = 29,17 kN, R2 = 20,83 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

MA = 0, MB = 58,33, MC = 66,67, MD = 75, ME = 83,33 kN·m, MF = 41,67, MG = 0

Odpowiedź

Punkt E: ME = 83,33 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 123,8 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 80·1,5 + 10·6·3
RB = 300/6 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 50 = 90 kN

Gdzie V = 0?

V(1,5⁻) = RA − w·1,5 = 75 kN
V(1,5⁺) = 75 − 80 = −5 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

Mmax = RA·1,5 − w·1,5²/2 = 90·1,5 − 10·1,5²/2 = 123,8 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 123,8 kN·m

Występuje w x = 1,5 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAB = −60,58 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·8 = 60·5 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 37,5 = 22,5 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22,5/0,3714 = −60,58 kN

Odpowiedź

FAB = −60,58 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 106,3 kN (T), BC: 106,3 kN (T), CD: 82,08 kN (T), DE: 82,08 kN (T), FG: 137,5 kN (C), GH: 137,5 kN (C), AF: 89,06 kN (C), HE: 102,6 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 39,06 kN (T), HC: 69,27 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 12,3 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 24000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(3EI) = 24000·1500³/(3·2,4 × 10¹²) = 11,25 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 1,055 mm

Dodaj

δ = 11,25 + 1,055 = 12,3 mm

Odpowiedź

δ = 12,3 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 50,51 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 30000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(48EI) = 30000·2000³/(48·1,32 × 10¹¹) = 37,88 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 12,63 mm

Dodaj

δmax = 37,88 + 12,63 = 50,51 mm

Odpowiedź

δmax = 50,51 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 19,62 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2000 = 2000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Odpowiedź

Pcr = 19,62 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 17,77 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Odpowiedź

σcr = 17,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis