Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 6 mP₁ = 35 kN w 2,5 mP₂ = 35 kN w 3 m

R_B = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (5 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (10 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 9 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD. Wyznacz reakcję R_D na podporze przesuwnej.

AC = 5 mAD = 10 mP = 50 kN w 9 mw = 6 kN/m od 5 do 10 m

R_D = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 3,5 m od A. Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 80 kN w 3,5 mw = 8 kN/m od 0 do 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 15 kN w 8 mw = 2 kN/m od 0 do 10 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 3 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 15 kNobciążenie poziome = 10 kN →

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2,5 m od A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 7 kNa = 2,5 mL = 3 mE = 200 GPa (stal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 125 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/300. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 125 mm

h_req = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 32,08 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·2,5 + 35·3

R_B = 192,5/6 = 32,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 32,08 = 37,92 kN

Odpowiedź

R_B = 32,08 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_D = 55 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

W = 6·5 = 30 kN w 2,5 m od C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 50·4 + 30·2,5

R_D = 55 kN

V_C = 80 − 55 = 25 kN

Odpowiedź

R_D = 55 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −321 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −80·3 = −240 kN·m

w: −8·4,5²/2 = −81 kN·m

M_x = −240 − 81 = −321 kN·m

Odpowiedź

M_x = −321 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 17,25 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·8 + 2·10·5

R_B = 220/10 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 22 = 13 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 13·1,5 − 2·1,5·0,75 = 17,25 kN·m

Odpowiedź

M_x = 17,25 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −22,55 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·1 → C_y = 3,125 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 3,125 = 21,88 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −21,88/0,9701 = −22,55 kN

Odpowiedź

F_AB = −22,55 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −19,76 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 + 10·3 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 18,75 = −3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,9487 = −19,76 kN

Odpowiedź

F_BC = −19,76 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 21,45 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 7000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa³/(3EI) = 7000·2500³/(3·1,7 × 10¹²) = 21,45 mm

Odpowiedź

δ_P = 21,45 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 220 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·16,67) = 1,11 × 10⁸ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·1,11 × 10⁸/125)^1/3 = 220 mm

Odpowiedź

h_req = 220 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 5,14 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·2500 = 5000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/5000² = 5140 N = 5,14 kN

Odpowiedź

P_cr = 5,14 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 35,25 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis