Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
w0​ = 8 kN/mP = 20 kNABRB​ = ?9 m1 m

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 8 kN/m w B. W odległości 9 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 10 mw0 = 8 kN/mP = 20 kN w 9 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
P = 45 kN, 30°Q = 20 kNABα = ?2 m7 m1 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2 m od A działa siła P nachylona pod kątem 30° do poziomu, a w odległości 9 m od A pionowa siła Q. Wyznacz kąt α między całkowitą siłą reakcji w podporze nieprzesuwnej A a poziomem.

L = 10 mP = 45 kN w 2 m, θ = 30°Q = 20 kN w 9 m
α = °
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 4 kN/mP = 55 kNAB5 m

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 5 m od A. Wyznacz moment zginający MA w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 55 kN w 5 mw = 4 kN/m od 0 do 5 m
MA = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 6 kN/mP = 25 kNAB4 m6 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 10 mP = 25 kN w 4 mw = 6 kN/m od 0 do 10 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB35 kN6 m4 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 35 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH10 kN35 kN40 kN20 kN4 × 3 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓D: 35 kN ↓F: 40 kN →H: 20 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 29 kNABδ3 m1 m

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 3 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δP pod siłą.

P = 29 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
P = 15 kNABδ3 m1 m

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 1 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax belki.

P = 15 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 6 md = 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 1,5 md = 20 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 44,67 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·8·10 = 40 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·10 = 40·6,667 + 20·9
RB = 44,67 kN
RA = 60 − 44,67 = 15,33 kN

Odpowiedź

RB = 44,67 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: α = 27,17 °

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

Pv = 45·sin 30° = 22,5 kN
Ph = 45·cos 30° = 38,97 kN

Reakcje

ΣMA = 0: RB·10 = 22,5·2 + 20·9 → RB = 22,5 kN
Ay = 22,5 + 20 − 22,5 = 20 kN
Ax = Ph = 38,97 kN

Kierunek w A

α = atan(Ay/Ax) = atan(20/38,97) = 27,17°

Odpowiedź

α = 27,17°
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: MA = −325 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −55·5 = −275 kN·m
w: −4·5²/2 = −50 kN·m
MA = −275 − 50 = −325 kN·m

Odpowiedź

MA = −325 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 132 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·4 + 6·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 40 = 45 kN

Gdzie V = 0?

V(4⁻) = RA − w·4 = 21 kN
V(4⁺) = 21 − 25 = −4 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 45·4 − 6·4²/2 = 132 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 132 kN·m

Występuje w x = 4 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 23,33 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·4 → Cy = 23,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 23,33 = 11,67 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −23,33/0,7071 = −33 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−33)·0,7071 = 23,33 kN

Odpowiedź

FAC = 23,33 kN (rozciąganie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 45,94 kN (T), BC: 45,94 kN (T), CD: 42,81 kN (T), DE: 42,81 kN (T), FG: 44,38 kN (C), GH: 44,38 kN (C), AF: 9,896 kN (C), HE: 71,35 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 2,604 kN (C), HC: 2,604 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δP = 2,589 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 29000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δP = Pa²b²/(3EIL) = 29000·3000²·1000²/(3·8,4 × 10¹²·4000) = 2,589 mm

Odpowiedź

δP = 2,589 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 7,941 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 15000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Maksymalne ugięcie

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 7,941 mm

Odpowiedź

δmax = 7,941 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 154,3 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154,3 kN

Odpowiedź

Pcr = 154,3 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 7,676 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/5 = 300

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Odpowiedź

σcr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis