Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 50 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​ = ?2,5 m0,5 m1 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 4 mP1 = 50 kN w 2,5 mP2 = 55 kN w 3 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w0​ = 10 kN/mP = 10 kNABMA​ = ?2,5 m2,5 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości 10 kN/m przy ścianie, malejące do zera na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 2,5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.

L = 5 mw0 = 10 kN/mP = 10 kN w 2,5 m
MA = kN·m
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 6 kN/mP = 55 kNABprzekrój3 m1 m1 m

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 4 m od A. Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 3 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 55 kN w 4 mw = 6 kN/m od 0 do 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 6 kN/mP = 10 kNAB1,5 m4,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 6 mP = 10 kN w 1,5 mw = 6 kN/m od 0 do 6 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB30 kN5 m4 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 2 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 30 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH10 kN30 kN25 kN35 kN4 × 3 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 10 kN ↓D: 30 kN ↓F: 25 kN →G: 35 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 4 kN/mδL = 3 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 4 kN/mABδ5 m

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 150 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/250. Wyznacz najmniejszą wysokość hreq przekroju.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 150 mm
hreq = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 2 md = 50 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
P = 125 kNL = 5 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 125 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 125 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (stal)
d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 72,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

P1​ = 50 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​2,5 m0,5 m1 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·4 = 50·2,5 + 55·3
RB = 290/4 = 72,5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 72,5 = 32,5 kN

Odpowiedź

RB = 72,5 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: MA = 66,67 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·10·5 = 25 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Moment względem ściany

MA = W·x̄ + P·a = 25·1,667 + 10·2,5 = 66,67 kN·m

Odpowiedź

MA = 66,67 kN·m
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = −67 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −55·1 = −55 kN·m
w: −6·2²/2 = −12 kN·m
Mx = −55 − 12 = −67 kN·m

Odpowiedź

Mx = −67 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 35,02 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·1,5 + 6·6·3
RB = 123/6 = 20,5 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 20,5 = 25,5 kN

Gdzie V = 0?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (25,5 − 10)/6 = 2,583 m

Moment maksymalny

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1,5) − w·x0²/2 = 35,02 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 35,02 kN·m

Występuje w x = 2,583 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 12 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·4 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 24 = 6 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −24/0,8944 = −26,83 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−26,83)·0,4472 = 12 kN

Odpowiedź

FAC = 12 kN (rozciąganie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 48,75 kN (T), BC: 48,75 kN (T), CD: 51,25 kN (T), DE: 51,25 kN (T), FG: 72,5 kN (C), GH: 72,5 kN (C), AF: 33,59 kN (C), HE: 72,48 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 33,59 kN (T), HC: 30,05 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 7,09 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 7,09 mm

Odpowiedź

δmax = 7,09 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: hreq = 227,9 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Wymagany moment bezwładności

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·20) = 1,48 × 10⁸ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,48 × 10⁸/150)1/3 = 227,9 mm

Odpowiedź

hreq = 227,9 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 52,99 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2000 = 2000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Odpowiedź

Pcr = 52,99 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 79,28 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 2,5·125000 = 312500 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 79,28 mm

Odpowiedź

d = 79,28 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 176,6, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis