Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
w = 2 kN/mP = 75 kNABMA​ = ?3,5 m1,5 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P w odległości 3,5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.

L = 5 mP = 75 kN w 3,5 mw = 2 kN/m od 0 do 5 m
MA = kN·m
2.Reakcje podpór belekTrudny
P = 15 kN, 50°Q = 15 kNABα = ?2,5 m1 m0,5 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 3,5 m od A działa siła P nachylona pod kątem 50° do poziomu, a w odległości 2,5 m od A pionowa siła Q. Wyznacz kąt α między całkowitą siłą reakcji w podporze nieprzesuwnej A a poziomem.

L = 4 mP = 15 kN w 3,5 m, θ = 50°Q = 15 kN w 2,5 m
α = °
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
M0​ = 55 kN·mAB1 m4 m

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 55 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 1 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mM0 = 55 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 1 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 4 kN/mP = 30 kNABprzekrój3 m3 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 30 kN w 3 mw = 4 kN/m od 0 do 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB15 kN8 m3 m4 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 15 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH10 kN4 × 3 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

F: 10 kN →
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 27 kNABδ1 m2 m

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od A. Wyznacz ugięcie δP pod siłą.

P = 27 kNa = 1 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 12 kN/mP = 10 kNδL = 2 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.

P = 10 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 4 m25 × 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 1,5 md = 60 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 60 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: MA = 287,5 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m

Moment względem ściany

MA = P·a + W·x̄ = 75·3,5 + 10·2,5 = 287,5 kN·m

Odpowiedź

MA = 287,5 kN·m
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: α = 36,22 °

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

Pv = 15·sin 50° = 11,49 kN
Ph = 15·cos 50° = 9,642 kN

Reakcje

ΣMA = 0: RB·4 = 11,49·3,5 + 15·2,5 → RB = 19,43 kN
Ay = 11,49 + 15 − 19,43 = 7,061 kN
Ax = Ph = 9,642 kN

Kierunek w A

α = atan(Ay/Ax) = atan(7,061/9,642) = 36,22°

Odpowiedź

α = 36,22°
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = −11 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 55/5 = 11 kN (w górę)
RA = −RB = −11 kN (w dół)

Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego

Lewa część zawiera tylko RA.

Mx = RA·a = −11·1 = −11 kN·m

Odpowiedź

Mx = −11 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 63 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·3 + 4·6·3
RB = 162/6 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 27 = 27 kN
w = 4 kN/mP = 30 kNABRA​ = 27RB​ = 27przekrój3 m3 m

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 27·3 − 4·3·1,5 = 63 kN·m

Odpowiedź

Mx = 63 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 7,031 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·3 → Cy = 5,625 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5,625 = 9,375 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5,625/0,6247 = −9,004 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−9,004)·0,7809 = 7,031 kN

Odpowiedź

FAC = 7,031 kN (rozciąganie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 7,5 kN (T), BC: 5 kN (T), CD: 5 kN (T), DE: 2,5 kN (T), FG: 7,5 kN (C), GH: 2,5 kN (C), AF: 3,536 kN (T), HE: 3,536 kN (C), BF: 2,5 kN (C), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 3,536 kN (T), DG: 3,536 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δP = 3,571 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 27000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δP = Pa³/(3EI) = 27000·1000³/(3·2,52 × 10¹²) = 3,571 mm

Odpowiedź

δP = 3,571 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 4,509 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 10000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(48EI) = 10000·2000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 1,804 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 2,706 mm

Dodaj

δmax = 1,804 + 2,706 = 4,509 mm

Odpowiedź

δmax = 4,509 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 6,426 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·4000 = 4000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/4000² = 6426 N = 6,426 kN

Odpowiedź

Pcr = 6,426 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 49,35 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Odpowiedź

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis