Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 15 kN/m w A do zera w B. W odległości 3 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mw₀ = 15 kN/mP = 35 kN w 3 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (3,5 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (6 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 5 m od A i siłę skupioną Q w odległości 1,5 m od A. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 30 kN w 5 mQ = 80 kN w 1,5 m

M_A = kN·m

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 2 kN/m od 0 do 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 30 kN w 1 mw = 3 kN/m od 0 do 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 10 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 60 kNobciążenie poziome = 15 kN ←

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (stal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 40 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 40 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 47,5 kN

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 35·3

R_B = 32,5 kN

R_A = 80 − 32,5 = 47,5 kN

Odpowiedź

R_A = 47,5 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 162 kN·m

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 30·1,5

R_D = 18 kN

V_C = 30 − 18 = 12 kN

Część AC

Siła w przegubie V_C działa na AC w dół (równa co do wartości i przeciwnie skierowana do działania na CD).

R_A = 80 + 12 = 92 kN

M_A = 80·1,5 + 12·3,5 = 162 kN·m

Odpowiedź

M_A = 162 kN·m

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 15 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 8·3 − 2·3·1,5 = 15 kN·m

Odpowiedź

M_x = 15 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 36,75 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·1 + 3·8·4

R_B = 126/8 = 15,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 15,75 = 38,25 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 38,25·1 − 3·1·0,5 = 36,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 36,75 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −4,507 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·3 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 7,5 = 2,5 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,5547 = −4,507 kN

Odpowiedź

F_AB = −4,507 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −37,5 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·5 − 15·4 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 30 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,8 = −37,5 kN

Odpowiedź

F_BC = −37,5 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 11,49 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 11,49 mm

Odpowiedź

δ = 11,49 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 23,01 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁷ mm⁴

I_req = 23,01 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 23,01 × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 62,01 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·1000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Odpowiedź

P_cr = 62,01 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 67,88 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 67,88 mm

Odpowiedź

d = 67,88 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 176,8, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis