Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 10 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?1,5 m3 m1,5 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 6 mP1 = 10 kN w 1,5 mP2 = 15 kN w 4,5 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 10 kN/mP = 40 kNABRA​RB​ = ?2 m2 m2 m2 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 8 mP = 40 kN w 2 mw = 10 kN/m od 4 do 6 m
RB = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
12 kN/m25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 4 m12 kN/m, 2–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 16 kN/mAB4 m6 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 10 mw = 16 kN/m od 4 do 10 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH10 kN20 kN4 × 3 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓G: 20 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB25 kN20 kN4 m3 m4 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 25 kNobciążenie poziome = 20 kN →
FAB = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 12 kN/mP = 17 kNABδ2 m

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 17 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (stal)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 6 kN/mP = 10 kNδL = 5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.

P = 10 kNw = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 4 m30 × 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 5 md = 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 13,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

P1​ = 10 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1,5 m3 m1,5 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·6 = 10·1,5 + 15·4,5
RB = 82,5/6 = 13,75 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 13,75 = 11,25 kN

Odpowiedź

RB = 13,75 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 22,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 10 kN/mP = 40 kNABRA​RB​2 m2 m2 m2 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 40·2 + 10·2·5
RB = 180/8 = 22,5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 22,5 = 37,5 kN

Odpowiedź

RB = 22,5 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R1 = 24,33 kN, R2 = 48,67 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

MA = 0, MB = 24,33, MC = 48,67, MD = 67, ME = 73,33 kN·m, MF = 42,67, MG = 0

Odpowiedź

Punkt E: ME = 73,33 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 141,1 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 16·6 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·10 = 16·6·7
RB = 672/10 = 67,2 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 67,2 = 28,8 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od RA, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

RA − w·(x0 − 4) = 0
x0 = 4 + 28,8/16 = 5,8 m

Moment maksymalny

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 4)²/2 = 28,8·5,8 − 16·1,8²/2 = 141,1 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 141,1 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 13,13 kN (T), BC: 13,13 kN (T), CD: 9,375 kN (T), DE: 9,375 kN (T), FG: 18,75 kN (C), GH: 18,75 kN (C), AF: 21,88 kN (C), HE: 15,62 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 9,375 kN (T), HC: 15,62 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAB = 17,19 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB25 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 + 20·4 → Cy = 38,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 38,75 = −13,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−13,75/0,8 = 17,19 kN

Odpowiedź

FAB = 17,19 kN (rozciąganie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 4,127 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 17000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(3EI) = 17000·2000³/(3·1,68 × 10¹³) = 2,698 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 1,429 mm

Dodaj

δ = 2,698 + 1,429 = 4,127 mm

Odpowiedź

δ = 4,127 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 16,28 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 10000 N, w = 6 N/mm, L = 5000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(48EI) = 10000·5000³/(48·4,6 × 10¹²) = 5,661 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 10,61 mm

Dodaj

δmax = 5,661 + 10,61 = 16,28 mm

Odpowiedź

δmax = 16,28 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 7,772 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·4000 = 4000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/4000² = 7772 N = 7,772 kN

Odpowiedź

Pcr = 7,772 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 2,763 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/10 = 500

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Odpowiedź

σcr = 2,763 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis