Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w od ściany do 2,5 m i siłę skupioną P w odległości 2 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

L = 4 mP = 30 kN w 2 mw = 12 kN/m od 0 do 2,5 m

M_A = kN·m

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 3 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 2 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 1,5 m do swobodnego końca w 4 m. Wyznacz reakcję pionową R_B, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 3 mAC = 4 mP = 45 kN w 2 mw = 10 kN/m od 1,5 do 4 m

R_B = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 10 kN/m od 0 do 6 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 4 mw = 8 kN/m od 0 do 3 m

M_max = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 10 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 60 kNobciążenie poziome = 5 kN ←

F_AC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 12 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 97,5 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 12·2,5 = 30 kN, x̄ = 1,25 m

Moment względem ściany

M_A = P·a + W·x̄ = 30·2 + 30·1,25 = 97,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = 97,5 kN·m

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 52,92 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 10·2,5 = 25 kN, x̄ = (1,5 + 4)/2 = 2,75 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 45·2 + 25·2,75

R_B = 158,8/3 = 52,92 kN

R_A = 70 − 52,92 = 17,08 kN

Odpowiedź

R_B = 52,92 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 13,75 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 30·0,5 − 10·0,5·0,25 = 13,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 13,75 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 14,06 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·3·1,5

R_B = 36/4 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 9 = 15 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 15/8 = 1,875 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 15·1,875 − 8·1,875²/2 = 14,06 kN·m

Odpowiedź

M_max = 14,06 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 2,778 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·5 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 8,333 = 1,667 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,333/0,9487 = −8,784 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−8,784)·0,3162 = 2,778 kN

Odpowiedź

F_AC = 2,778 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 26,25 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·5 − 5·4 → C_y = 35 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 35 = 25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −35/0,8 = −43,75 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−43,75)·0,6 = 26,25 kN

Odpowiedź

F_AC = 26,25 kN (rozciąganie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 12,09 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 12000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(3EI) = 12000·2500³/(3·8,4 × 10¹²) = 7,44 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 4,65 mm

Dodaj

δ = 7,44 + 4,65 = 12,09 mm

Odpowiedź

δ = 12,09 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·1500⁴/(384·11000·4,167) = 5,753 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 2,41 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·4000 = 8000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/8000² = 2410 N = 2,41 kN

Odpowiedź

P_cr = 2,41 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 111 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 111 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis