Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 20 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m1 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 4 mP1 = 20 kN w 2 mP2 = 15 kN w 3 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 8 kN/mP = 60 kNABRA​RB​ = ?4 m1 m2 m3 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 10 mP = 60 kN w 7 mw = 8 kN/m od 4 do 5 m
RB = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNAB2 m2 m1 m

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 5 mP1 = 55 kN w 2 mP2 = 40 kN w 4 m
Mmax = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
30 kN55 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

30 kN @ 0 m55 kN @ 6 m20 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB30 kN4 m3 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 30 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB10 kN20 kN4 m1 m4 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 10 kNobciążenie poziome = 20 kN ←
FBC = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 5 kN/mδL = 2,5 m

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 4 kN/mP = 14 kNδL = 2,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.

P = 14 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 2 m20 × 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
P = 145 kNL = 6 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 145 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 145 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 21,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

P1​ = 20 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​2 m1 m1 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·4 = 20·2 + 15·3
RB = 85/4 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 21,25 = 13,75 kN

Odpowiedź

RB = 21,25 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 45,6 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 8 kN/mP = 60 kNABRA​RB​4 m1 m2 m3 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, przyłożona w x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·7 + 8·1·4,5
RB = 456/10 = 45,6 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 45,6 = 22,4 kN

Odpowiedź

RB = 45,6 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 82 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·2 + 40·4
RB = 270/5 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 54 = 41 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P1: M = RA·2 = 41·2 = 82 kN·m
pod P2: M = RB·1 = 54·1 = 54 kN·m

Największa wartość

Mmax = 82 kN·m (pod P1)

Odpowiedź

Mmax = 82 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R1 = 16,67 kN, R2 = 88,33 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

MA = 0, MB = −30, MC = −43,33, MD = −76,67, ME = −110 kN·m, MF = −55, MG = 0

Odpowiedź

Punkt E: ME = −110 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 11,25 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22,5/0,8944 = −25,16 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−25,16)·0,4472 = 11,25 kN

Odpowiedź

FAC = 11,25 kN (rozciąganie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FBC = 21,88 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB10 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·1 − 20·4 → Cy = −17,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −17,5 = 27,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−17,5/0,8 = 21,88 kN

Odpowiedź

FBC = 21,88 kN (rozciąganie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 2,906 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 2,906 mm

Odpowiedź

δ = 2,906 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 26,05 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 14000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(48EI) = 14000·2500³/(48·2,53 × 10¹¹) = 18,01 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 8,042 mm

Dodaj

δmax = 18,01 + 8,042 = 26,05 mm

Odpowiedź

δmax = 26,05 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 26,86 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1400² = 26856 N = 26,86 kN

Odpowiedź

Pcr = 26,86 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 122,6 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 3·145000 = 435000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 122,6 mm

Odpowiedź

d = 122,6 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 137, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis