Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
w = 3 kN/mP = 15 kNABMA​ = ?3 m2 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P w odległości 3 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.

L = 5 mP = 15 kN w 3 mw = 3 kN/m od 0 do 5 m
MA = kN·m
2.Reakcje podpór belekTrudny
w0​ = 20 kN/mP = 50 kNABMA​ = ?3 m2 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości 20 kN/m przy ścianie, malejące do zera na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 3 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.

L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 50 kN w 3 m
MA = kN·m
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
P1​ = 10 kNP2​ = 80 kNAB6 m2 m2 m

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 10 mP1 = 10 kN w 6 mP2 = 80 kN w 8 m
Mmax = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 5 kN/mP = 65 kNAB2,5 m2,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 5 mP = 65 kN w 2,5 mw = 5 kN/m od 0 do 5 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH30 kN10 kN40 kN25 kN40 kN4 × 3 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 30 kN ↓C: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 25 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH10 kN30 kN20 kN35 kN20 kN4 × 4 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓D: 30 kN ↓F: 20 kN ↓H: 35 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 12 kN/mP = 27 kNABδ4 m

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 27 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
P = 35 kNAB2 m2 m

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję RB na podporze przesuwnej.

L = 4 mP = 35 kN w 2 m
RB = kN
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 1 m25 × 60 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 6 md = 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: MA = 82,5 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 3·5 = 15 kN, x̄ = 2,5 m

Moment względem ściany

MA = P·a + W·x̄ = 15·3 + 15·2,5 = 82,5 kN·m

Odpowiedź

MA = 82,5 kN·m
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: MA = 233,3 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Moment względem ściany

MA = W·x̄ + P·a = 50·1,667 + 50·3 = 233,3 kN·m

Odpowiedź

MA = 233,3 kN·m
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 140 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣMA = 0: RB·10 = 10·6 + 80·8
RB = 700/10 = 70 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 70 = 20 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P1: M = RA·6 = 20·6 = 120 kN·m
pod P2: M = RB·2 = 70·2 = 140 kN·m

Największa wartość

Mmax = 140 kN·m (pod P2)

Odpowiedź

Mmax = 140 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 96,88 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 65·2,5 + 5·5·2,5
RB = 225/5 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 45 = 45 kN

Gdzie V = 0?

V(2,5⁻) = RA − w·2,5 = 32,5 kN
V(2,5⁺) = 32,5 − 65 = −32,5 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

Mmax = RA·2,5 − w·2,5²/2 = 45·2,5 − 5·2,5²/2 = 96,88 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 96,88 kN·m

Występuje w x = 2,5 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 66,25 kN (T), BC: 66,25 kN (T), CD: 78,75 kN (T), DE: 78,75 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 93,69 kN (C), HE: 111,4 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 15,91 kN (T), HC: 1,768 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 36,67 kN (T), BC: 53,33 kN (T), CD: 53,33 kN (T), DE: 70 kN (T), FG: 56,67 kN (C), GH: 90 kN (C), AF: 70,83 kN (C), HE: 87,5 kN (C), BF: 22,5 kN (T), CG: 0, DH: 17,5 kN (T), BG: 20,83 kN (C), DG: 20,83 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 30 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 27000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(3EI) = 27000·4000³/(3·3,2 × 10¹³) = 18 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·4000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 12 mm

Dodaj

δ = 18 + 12 = 30 mm

Odpowiedź

δ = 30 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: RB = 10,94 kN

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). W belce statycznie niewyznaczalnej usuń podporę nadliczbową i zażądaj, aby ugięcie w tym miejscu było równe zeru (warunek zgodności).

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory RB podnosi swobodny koniec o RBL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Odpowiedź

RB = 10,94 kN
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 13,49 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·1000 = 2000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2000² = 13494 N = 13,49 kN

Odpowiedź

Pcr = 13,49 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 11,19 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/10 = 420

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/420² = 11,19 MPa

Odpowiedź

σcr = 11,19 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis